В угол, величиной 90 градусов вписана окружность радиуса 5. Окружность радиуса г > 5 касается сторон угла и первой окружности. Докажите единственность r и найдите его значение или найдите все возможные значения r, если число r не единственно​

Заметим, что множество точек, являющихся центрами окружностей, вписанных в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Касание двух окружностей может быть внутренним, а может быть внешним. Случай внутреннего касания, очевидно, невозможен. Остается лишь случай внешнего (единственность).

Рассмотрим бесконечную серию окружностей вписанных в этот угол. Понятно, что радиусы окружностей убывают как геометрическая прогрессия (здесь наблюдается преобразование подобия — гомотетия). Пусть радиус меньшей окружности (с радиусом 5) равен . Тогда отрезок, начало которого в вершине прямого угла, а конец в центре большой окружности, можно посчитать через сумму бесконечной геометрической прогрессии: , где — отношение радиусов соседних окружностей. С другой стороны, по теореме Пифагора: . Имеем: , причем , откуда