В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2 бракованные. Поочередно из него извлекается по одной детали (с возвратом и без возврата). Найти условную вероятность извлечения во второй раз стандартной детали при условии, что в первый раз извлечена деталь: а) стандартная; б) не стандартная.
Для начала, давайте рассмотрим условия задачи. В ящике находятся 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2 бракованные. Это означает, что вероятность извлечения стандартной детали из ящика находится в пределах от 0 до 1.
Поочередно извлекается по одной детали, при этом есть два варианта: извлечение с возвратом и без возврата. Это важное различие, так как оно будет влиять на нашу исходную вероятность.
Теперь перейдем к решению задачи.
а) Нам нужно найти условную вероятность извлечения во второй раз стандартной детали, при условии, что в первый раз извлечена стандартная деталь.
Пусть событие A будет заключаться в извлечении стандартной детали в первый раз, а событие B - в извлечении стандартной детали во второй раз.
Мы хотим найти P(B|A), то есть вероятность события B при условии события A.
Используя формулу условной вероятности, мы можем записать:
P(B|A) = P(A и B) / P(A)
Вероятность события A можно найти следующим образом: в ящике 5 деталей, из которых 3 стандартные, поэтому вероятность извлечения стандартной детали в первый раз равна 3/5.
Теперь мы должны найти вероятность события A и B, то есть вероятность того, что в первый и второй разы будут извлечены стандартные детали.
Прежде чем мы продолжим, обратите внимание, что у нас есть два варианта: извлечение с возвратом и без возврата. В данном случае, так как в условии не указано, каким способом происходит извлечение, мы предположим, что извлечение происходит с возвратом. Это значит, что после извлечения детали, она возвращается обратно в ящик.
Итак, вероятность события B при условии A можно найти следующим образом:
P(A и B) = P(A) * P(B|A)
У нас есть две возможности извлечения стандартной детали во второй раз:
1) Событие B заключается в извлечении стандартной детали с возвратом. Вероятность такого события будет равна 3/5, так как после извлечения детали она возвращается обратно в ящик.
2) Событие B заключается в извлечении стандартной детали без возврата. Вероятность такого события будет равна 2/4 (поскольку после первого извлечения у нас остается 4 детали, включая 2 стандартных).
Итак, мы можем составить следующую таблицу:
╔══════════╦══════════╦═════════════╗
║ Событие B ║ Вероятность ║
╠══════════╬══════════╣
║ B с возвратом ║ 3/5 ║
║ B без возврата ║ 2/4 ║
╚══════════╩══════════╩═════════════╝
Так как мы предполагаем, что извлечение происходит случайным образом, вероятность события B будет равной сумме вероятностей B с возвратом и B без возврата:
P(B) = P(B с возвратом) + P(B без возврата)
P(B) = 3/5 + 2/4
P(B) = (12 + 10) / 20
P(B) = 22 / 20
P(B) = 11 / 10
Теперь мы можем найти P(B|A):
P(B|A) = P(A и B) / P(A)
P(B|A) = (3/5) / (3/5)
P(B|A) = 1
Таким образом, условная вероятность извлечения во второй раз стандартной детали, при условии, что в первый раз извлечена стандартная деталь, будет равна 1.
b) Теперь давайте перейдем ко второй части вопроса. Нам нужно найти условную вероятность извлечения во второй раз стандартной детали, при условии, что в первый раз извлечена не стандартная деталь.
Пусть событие C будет заключаться в извлечении не стандартной детали в первый раз, а событие B остается то же - событие извлечения стандартной детали во второй раз.
То есть, нам нужно найти P(B|C), то есть вероятность события B при условии события C.
Мы можем использовать ту же формулу условной вероятности:
P(B|C) = P(C и B) / P(C)
У нас есть два варианта извлечения стандартной детали во второй раз:
1) Событие B заключается в извлечении стандартной детали с возвратом и вероятность такого события равна 3/5.
2) Событие B заключается в извлечении стандартной детали без возврата и вероятность такого события равна 2/4.
Теперь мы можем составить следующую таблицу:
╔══════════╦══════════╦═════════════╗
║ Событие B ║ Вероятность ║
╠══════════╬══════════╣
║ B с возвратом ║ 3/5 ║
║ B без возврата ║ 2/4 ║
╚══════════╩══════════╩═════════════╝
Также, вероятность события C можно найти следующим образом: в ящике 5 деталей, из которых 2 бракованных, поэтому вероятность извлечения бракованной детали в первый раз равна 2/5.
Теперь мы должны найти вероятность события C и B, то есть вероятность того, что в первый и второй разы будет извлечена не стандартная деталь и стандартная деталь соответственно.
P(C и B) - вероятность извлечения не стандартной детали в первый раз и стандартной детали во второй раз.
Мы можем записать:
P(C и B) = P(C) * P(B|C)
P(C) = 2/5
Здесь мы также предполагаем, что извлечение происходит с возвратом, поэтому вероятность P(B|C) будет равна 3/5.
Теперь мы можем вычислить P(C и B):
P(C и B) = (2/5) * (3/5)
P(C и B) = 6/25
Теперь мы можем найти P(B|C):
P(B|C) = P(C и B) / P(C)
P(B|C) = (6/25) / (2/5)
P(B|C) = (6/25) * (5/2)
P(B|C) = 6/10
P(B|C) = 3/5
Таким образом, условная вероятность извлечения во второй раз стандартной детали, при условии, что в первый раз извлечена не стандартная деталь, будет равна 3/5.
Надеюсь, это решение помогло вам понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!