В задачах 41 – 50 даны координаты точек

Даны вершины треугольной пирамиды:

A (-1; 2; 1), B(1; 0; 2), C(2; -1; 3), D(1; 1; 0).  

Найти:1) длину ребра АВ.

Вектор АВ= (1-(-1); 0-2; 2-1) = (2; -2; 1), его модуль равен √(4+4+1) = √9 = 3.

2) уравнение плоскости грани ABC.

Находим нормальный вектор n как векторное произведение АВ и АС.

Вектор AB: (2; -2; 1), вектор АС: (3; -3; 2).

n = ABxAC =

 I        j      k|     I       j

2       -2     1|    2     -2

3      -3      2|    3    -3  = -4i + 3j - 6k- 4j + 3i + 6k = -1i – 1j + 0k.

Нормальный вектор плоскости АВС равен n =(-1; -1; 0).

Уравнение плоскости АВС по точке A (-1; 2; 1) и нормальному вектору n =(-1; -1; 0):

ABC: (-1)*(x + 1) – 1* (y – 2) + 0*(z – 1) = 0,

ABC:  -x – y + 1 = 0.

3) уравнение перпендикуляра DO из точки D на плоскость АВС по направляющему вектору n =(-1; -1; 0) и точке D(1; 1; 0):

DO: (x – 1)/(-1) = (y – 1)/(-1).

4) площадь грани АВС найдём как половину модуля векторного произведения АВхАС.

S(ABC) = (1/2) )√((-1)² + (-1)² + 0²) = √2/2 = 0,707 кв.ед.

5) объем пирамиды ABCD.

A (-1; 2; 1), D(1; 1; 0), ABxAC = =(-1; -1; 0).

Вектор AD = (2; -1; -1).

V = (1/6)|AD*( ABxAC)| = (1/6)*|2*(-1) + (-1)*(-1) + (-1)*0| = 1/6 ≈ 0,16667  куб.ед.