Валфавите племени тумба-юмба 7 букв. мистер фокс хочет выписать их в строку (буквы могут повторяться) так, чтобы в любой группе из нескольких последовательных букв некоторая буква встречалась бы ровно один раз. какую наибольшую длину может иметь такая строка?
Пусть алфавит состоит из одной буквы А. Наибольшая длина требуемой последовательности равна 1, т.е. состоит из 1 буквы А.
Пусть алфавит состоит из двух букв А и Б. Тогда требуемая последовательность будет состоять из трёх букв: АБА.
Пусть алфавит состоит из трёх букв А, Б и В. Тогда требуемая последовательность будет такая АБАВАБА (7 букв). Т.е. одна буква в середине, а по краям повторяются последовательности, которые были рассмотрены на шаг ранее. И теперь, какую бы последовательность мы не возьмём, одна из букв будет встречаться только один раз.
Вырисовывается некая закономерность, поэтому легко составляется последлвательность для алфавита из 4-х букв А, Б, В и Г:
АБАВАБАГАБАВАБА (15 букв).
Можно таким образом продолжить и далее до алфавита из 7 букв, но заметим, что в последовательности, состоящей из длин требуемой строки, есть закономерность:
1, 3, 7, 15, ... - это не что иное, как
Покажем, что это распространяется для любого n методом математической индукции. Первые шаги нами уже проверены, поэтому предполагаем, что формула верна для некоего числа n. Докажем, что это выполянется и при (n+1).
Что мы делали, когда составляли последовательность, добавляя в алфавит ещё одну букву? Мы брали две предыдущие последовательности и в середину вставляли новую букву.
Что и требовалось доказать.
ответ: 127