Для того чтобы найти расстояние от точки К до прямой АС, нам необходимо разобраться с геометрической ситуацией, изображенной на рисунке и использовать соответствующие геометрические свойства и формулы.
Обращу внимание, что на рисунке изображено несколько плоскостей и углов, но для решения данной задачи нам понадобятся только одна плоскость, обозначенная АВС, и отрезок ВК, перпендикулярный этой плоскости.
Первым шагом для решения задачи попытаемся разобраться с геометрической ситуацией на рисунке. Обратим внимание, что отрезок ВК перпендикулярен плоскости АВС. Это означает, что отрезок ВК образует прямой угол (угол, равный 90 градусов) с плоскостью АВС.
Теперь нам необходимо найти расстояние от точки К до прямой АС. Для этого воспользуемся понятием расстояния от точки до прямой в трехмерной геометрии.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:
d = |(AK × AB) / |AB||,
где d - расстояние от точки К до прямой АС,
AK - вектор, идущий от точки А до точки К,
AB - вектор, идущий от точки А до точки В,
/ |AB|| - длина вектора AB.
Для использования данной формулы, нам необходимо найти векторы AK и AB, а также длину вектора AB.
Для вычисления вектора AK, нужно взять координаты точек А и К и разницу между их координатами:
AK = (xK - xA, yK - yA, zK - zA),
Для вычисления вектора AB, нужно взять координаты точек А и В и разницу между их координатами:
AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA).
Теперь, когда у нас есть векторы AK и AB, мы можем вычислить длину вектора AB, используя формулу:
|AB| = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2).
Рассчитаем значения векторов AK и AB и длину вектора AB:
AK = (1 - (-1), 2 - 0, 3 - 1) = (2, 2, 2),
AB = (1 - (-1), 2 - 0, 2 - 1) = (2, 2, 1),
|AB| = √((1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 1)^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.
Теперь, используя полученные значения, мы можем вычислить расстояние d от точки К до прямой АС:
d = |(AK × AB) / |AB|| = |(2, 2, 2) × (2, 2, 1) / 3|.
Для вычисления векторного произведения векторов AK и AB, используем следующую формулу:
AK × AB = (AKy * ABz - AKz * ABy, AKz * ABx - AKx * ABz, AKx * ABy - AKy * ABx).
Для того чтобы функция f(x) могла быть плотностью распределения, она должна удовлетворять двум условиям:
1. Значения функции f(x) должны быть неотрицательными на всем указанном промежутке.
2. Интеграл функции f(x) по всему промежутку должен быть равен 1.
Для нахождения константы A, мы можем использовать второе условие и решить уравнение:
∫ f(x) dx = 1,
где ∫ означает интегрирование функции по всему промежутку.
Следует заметить, что функция f(x) задана раздельно на двух промежутках: от 0 до 1 и от 1 до 2.
Для первого промежутка от 0 до 1, функция f(x) определена как Ax. Таким образом, мы получаем:
∫(от 0 до 1) Ax dx = 1.
Интегрируя по переменной x, получаем:
A ∫(от 0 до 1) x dx = 1.
Вычисляя интеграл, получаем:
A * [x^2/2] (от 0 до 1) = 1.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
A * (1^2/2 - 0^2/2) = 1.
A * 1/2 = 1.
Умножая обе части уравнения на 2, получаем:
A = 2.
Таким образом, константа A равна 2.
Теперь, для того чтобы найти функцию распределения F(x), мы должны проинтегрировать функцию плотности f(x) по переменной x от минимального значения до x:
F(x) = ∫(от минимального значения до x) f(t) dt.
Раздельно рассмотрим первый и второй промежутки:
Для первого промежутка от 0 до 1, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 0 до x) 2t dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = 2 ∫(от 0 до x) t dt = [t^2] (от 0 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x^2 - 0^2 = x^2.
Для второго промежутка от 1 до 2, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt = [t] (от 1 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x - 1.
Таким образом, функция распределения F(x) будет равна:
F(x) =
{
x^2, если x принадлежит [0,1],
x - 1, если x принадлежит (1,2].
}
Чтобы найти математическое ожидание E(X), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x f(x) dx.
Так как функция f(x) равна 2x на отрезке [0,1], и 0 на отрезке (1,2], то математическое ожидание E(X) можно вычислить следующим образом:
E(X) = ∫(от 0 до 1) 2x^2 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X) = [2x^3/3] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X) = (2/3 - 0) = 2/3.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 2/3.
Для нахождения дисперсии V(X), мы должны использовать формулу V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Для вычисления E(X^2), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x^2 f(x) dx.
Используя функцию плотности f(x) как в предыдущем пункте, мы имеем:
E(X^2) = ∫(от 0 до 1) 2x^3 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X^2) = [2x^4/4] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X^2) = (1/2 - 0) = 1/2.
Теперь мы можем вычислить дисперсию V(X):
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Подставляем значения E(X) и E(X^2):
V(X) = 1/2 - (2/3)^2 .
Упрощаем выражение:
V(X) = 1/2 - 4/9.
Для удобства, приводим оба слагаемых к общему знаменателю:
V(X) = 9/18 - 8/18.
Вычитаем числители и упрощаем:
V(X) = 1/18.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 1/18.
Для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины X, мы должны вычислить квадратный корень из дисперсии:
σ(X) = √(V(X)).
Подставляем значение дисперсии:
σ(X) = √(1/18).
Упрощаем выражение:
σ(X) = √(1/3^2 * 2).
Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины X составляет √(1/3) или 1/√3 .
Обращу внимание, что на рисунке изображено несколько плоскостей и углов, но для решения данной задачи нам понадобятся только одна плоскость, обозначенная АВС, и отрезок ВК, перпендикулярный этой плоскости.
Первым шагом для решения задачи попытаемся разобраться с геометрической ситуацией на рисунке. Обратим внимание, что отрезок ВК перпендикулярен плоскости АВС. Это означает, что отрезок ВК образует прямой угол (угол, равный 90 градусов) с плоскостью АВС.
Теперь нам необходимо найти расстояние от точки К до прямой АС. Для этого воспользуемся понятием расстояния от точки до прямой в трехмерной геометрии.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:
d = |(AK × AB) / |AB||,
где d - расстояние от точки К до прямой АС,
AK - вектор, идущий от точки А до точки К,
AB - вектор, идущий от точки А до точки В,
/ |AB|| - длина вектора AB.
Для использования данной формулы, нам необходимо найти векторы AK и AB, а также длину вектора AB.
Для вычисления вектора AK, нужно взять координаты точек А и К и разницу между их координатами:
AK = (xK - xA, yK - yA, zK - zA),
Для вычисления вектора AB, нужно взять координаты точек А и В и разницу между их координатами:
AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA).
Теперь, когда у нас есть векторы AK и AB, мы можем вычислить длину вектора AB, используя формулу:
|AB| = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2).
Рассчитаем значения векторов AK и AB и длину вектора AB:
AK = (1 - (-1), 2 - 0, 3 - 1) = (2, 2, 2),
AB = (1 - (-1), 2 - 0, 2 - 1) = (2, 2, 1),
|AB| = √((1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 1)^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.
Теперь, используя полученные значения, мы можем вычислить расстояние d от точки К до прямой АС:
d = |(AK × AB) / |AB|| = |(2, 2, 2) × (2, 2, 1) / 3|.
Для вычисления векторного произведения векторов AK и AB, используем следующую формулу:
AK × AB = (AKy * ABz - AKz * ABy, AKz * ABx - AKx * ABz, AKx * ABy - AKy * ABx).
Теперь можем расчитать векторное произведение:
AK × AB = (2 * 1 - 2 * 2, 2 * 2 - 2 * 1, 2 * 2 - 2 * 2) = (-2, 2, 0).
Теперь можем искать длину вектора AK × AB:
|AK × AB| = √((-2)^2 + 2^2 + 0^2) = √(4 + 4) = √8.
Теперь можем рассчитать окончательное значение расстояния d:
d = |(AK × AB) / |AB|| = |(-2, 2, 0) / 3| = √8 / 3.
Итак, расстояние от точки К до прямой АС равно √8 / 3 (корень из 8 делить на 3).
1. Значения функции f(x) должны быть неотрицательными на всем указанном промежутке.
2. Интеграл функции f(x) по всему промежутку должен быть равен 1.
Для нахождения константы A, мы можем использовать второе условие и решить уравнение:
∫ f(x) dx = 1,
где ∫ означает интегрирование функции по всему промежутку.
Следует заметить, что функция f(x) задана раздельно на двух промежутках: от 0 до 1 и от 1 до 2.
Для первого промежутка от 0 до 1, функция f(x) определена как Ax. Таким образом, мы получаем:
∫(от 0 до 1) Ax dx = 1.
Интегрируя по переменной x, получаем:
A ∫(от 0 до 1) x dx = 1.
Вычисляя интеграл, получаем:
A * [x^2/2] (от 0 до 1) = 1.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
A * (1^2/2 - 0^2/2) = 1.
A * 1/2 = 1.
Умножая обе части уравнения на 2, получаем:
A = 2.
Таким образом, константа A равна 2.
Теперь, для того чтобы найти функцию распределения F(x), мы должны проинтегрировать функцию плотности f(x) по переменной x от минимального значения до x:
F(x) = ∫(от минимального значения до x) f(t) dt.
Раздельно рассмотрим первый и второй промежутки:
Для первого промежутка от 0 до 1, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 0 до x) 2t dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = 2 ∫(от 0 до x) t dt = [t^2] (от 0 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x^2 - 0^2 = x^2.
Для второго промежутка от 1 до 2, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt = [t] (от 1 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x - 1.
Таким образом, функция распределения F(x) будет равна:
F(x) =
{
x^2, если x принадлежит [0,1],
x - 1, если x принадлежит (1,2].
}
Чтобы найти математическое ожидание E(X), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x f(x) dx.
Так как функция f(x) равна 2x на отрезке [0,1], и 0 на отрезке (1,2], то математическое ожидание E(X) можно вычислить следующим образом:
E(X) = ∫(от 0 до 1) 2x^2 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X) = [2x^3/3] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X) = (2/3 - 0) = 2/3.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 2/3.
Для нахождения дисперсии V(X), мы должны использовать формулу V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Для вычисления E(X^2), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x^2 f(x) dx.
Используя функцию плотности f(x) как в предыдущем пункте, мы имеем:
E(X^2) = ∫(от 0 до 1) 2x^3 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X^2) = [2x^4/4] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X^2) = (1/2 - 0) = 1/2.
Теперь мы можем вычислить дисперсию V(X):
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Подставляем значения E(X) и E(X^2):
V(X) = 1/2 - (2/3)^2 .
Упрощаем выражение:
V(X) = 1/2 - 4/9.
Для удобства, приводим оба слагаемых к общему знаменателю:
V(X) = 9/18 - 8/18.
Вычитаем числители и упрощаем:
V(X) = 1/18.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 1/18.
Для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины X, мы должны вычислить квадратный корень из дисперсии:
σ(X) = √(V(X)).
Подставляем значение дисперсии:
σ(X) = √(1/18).
Упрощаем выражение:
σ(X) = √(1/3^2 * 2).
Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины X составляет √(1/3) или 1/√3 .