В некоторых случаях формулы (4) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Следует учесть, что если f(x) – четная на промежутке [-a, a], то
если же f(x) – нечетная, то
.
Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). На основании свойств четных и нечетных функций, а также формул (4), получили
(5)
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид:
. (6)
По аналогии для нечетной функции f(x) получим:
. (7)
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид:
. (8)
Таким образом, четная функция раскладывается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l
Часто приходится раскладывать в тригонометрический ряд функции, период которых отличен от . Этот случай легко сводится к изученному ранее с замены переменной.
Для функции f(x), имеющей период 2l, коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
(9)
Ряд для функции f(x) имеет вид:
(10)
Пример 1.
Разложить в ряд Фурье функцию периода 2l=2, заданную на отрезке [-1;1] равенством
Решение. Найдем коэффициенты Фурье, используя формулы (9).
,
.
.
По формуле (10) записываем искомый рад Фурье:
.
Формулы (9) и (10) для коэффициентов Фурье и ряда Фурье четных и нечетных функций с периодом 2l преобразуются следующим образом.
Для четной функции:
, ,,
. (11)
Для нечетной функции:
, ,
. (12)
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Пусть f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Если необходимо разложить её в ряд Фурье на промежутке [-l;l], то вводят вс функцию с периодом2l, значения которой совпадают со значениями f(x) на промежутке [0;l]. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить соответствующим рядом Фурье.
Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только на промежутке [0;l]. В этом случае мы можем сначала продолжить функцию на интервал (-l;0), а затем продолжить её на всю числовую ось периодически с периодом 2l. Чаще всего функцию продолжают четным или нечетным образом. Таким образом можно получить бесчисленное множество рядов Фурье для функции f(x), заданной на промежутке [0;l].
Пример 1.
Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=1, заданную на промежутке (0;l].
Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо сначала её продолжить на промежуток [-1;0] нечетным образом, а затем полученную функцию продолжить периодически на всю числовую ось. Тогда график функции будет иметь вид:
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам (12). Здесь надо принять l=1, f(x)=1. Тогда:
В некоторых случаях формулы (4) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Следует учесть, что если f(x) – четная на промежутке [-a, a], то
если же f(x) – нечетная, то
.
Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). На основании свойств четных и нечетных функций, а также формул (4), получили
(5)
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид:
. (6)
По аналогии для нечетной функции f(x) получим:
. (7)
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид:
. (8)
Таким образом, четная функция раскладывается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l
Часто приходится раскладывать в тригонометрический ряд функции, период которых отличен от . Этот случай легко сводится к изученному ранее с замены переменной.
Для функции f(x), имеющей период 2l, коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
(9)
Ряд для функции f(x) имеет вид:
(10)
Пример 1.
Разложить в ряд Фурье функцию периода 2l=2, заданную на отрезке [-1;1] равенством
Решение. Найдем коэффициенты Фурье, используя формулы (9).
,
.
.
По формуле (10) записываем искомый рад Фурье:
.
Формулы (9) и (10) для коэффициентов Фурье и ряда Фурье четных и нечетных функций с периодом 2l преобразуются следующим образом.
Для четной функции:
, ,,
. (11)
Для нечетной функции:
, ,
. (12)
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Пусть f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Если необходимо разложить её в ряд Фурье на промежутке [-l;l], то вводят вс функцию с периодом2l, значения которой совпадают со значениями f(x) на промежутке [0;l]. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить соответствующим рядом Фурье.
Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только на промежутке [0;l]. В этом случае мы можем сначала продолжить функцию на интервал (-l;0), а затем продолжить её на всю числовую ось периодически с периодом 2l. Чаще всего функцию продолжают четным или нечетным образом. Таким образом можно получить бесчисленное множество рядов Фурье для функции f(x), заданной на промежутке [0;l].
Пример 1.
Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=1, заданную на промежутке (0;l].
Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо сначала её продолжить на промежуток [-1;0] нечетным образом, а затем полученную функцию продолжить периодически на всю числовую ось. Тогда график функции будет иметь вид:
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам (12). Здесь надо принять l=1, f(x)=1. Тогда:
.
Итак:
, …
Ряд Фурье для данной функции имеет вид:
.
Пошаговое объяснение: