ВЕКТОРНА АЛГЕБРА Задані координати вершин піраміди M1M2M3M4 . Для всіх
варіантів виконати наступні завдання.
Завдання 2.1. Знайти кут між ребрами M1M2 та M1M4 .
Завдання 2.2. Знайти проекцію вектора M1M3 на вектор
M1M4 .
Завдання 2.3. Знайти площу грані M1M2M3 .
Завдання 2.4. Знайти довжину висоти піраміди, проведену з
вершини M4 , попередньо знайшовши об"єм піраміди.
Завдання 2.5. Встановити орієнтацію трійки векторів M1M2 ,
M1M3 і M1M4

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА Задані координати вершин піраміди M1M2M3M4 . Для всіх варіантів виконати наступні з

Показать ответ

Ответ:

daniilgurnyy

04.07.2021 19:03

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида SABCD .

$S_{\tt bok }(SABCD) = 45$ (см²).

SH = h = 5 (см).

Найти:

- сторону основания.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

$\displaystyle S_{\tt bok} = 2ab$ , где - сторона основания и - апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины).

Попробуем выразить через (сторону основания) и h=5 (см) (высоту пирамиды).

Рассмотрим прямоугольный $\triangle SHM$ (где - середина ). В нем SH=5 (см), а MH = a/ 2 (см) (как половина стороны квадрата, равной см).

По теореме Пифагора:

$\displaystyle SH^2+MH^2=SM^2\\\\5^2 + \bigg ( \frac{ a }{2} \bigg )^2 = b^2 \\\\25 + \frac{a^2}{4} = b^2 \\\\b = \sqrt{\frac{a^2+100}{4} }$

Все это подставляем в уравнение площади боковой поверхности (при возведении в квадрат держим в голове, что - неотрицательное):

$\displaystyle S_{\tt bok} = 2ab \\\\45 = 2 \cdot a \cdot \sqrt{ \frac{a^2+100}{4} } \\\\2025 = 4 \cdot a^2 \cdot \frac{a^2+100}{4} \\\\2025 = a^2 \cdot (a^2 + 50)$

Пусть a^2=t :

$\displaystyle 2025 = t(t + 100)\\\\t^2 + 100t - 2025=0 \\\\t_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{ -100 + \sqrt{18100} }{2} = -50 +{5\sqrt{181} } -50 + {5\sqrt{169} } 0 \\\\t_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{ -100 - \sqrt{18100} }{2} = -50 -{5\sqrt{181} } < 0$