Велосипедтің педальдармен бекітілген жетектеуші тісті дөңгелегінің 42 тісі бар, ал артқы доңғалағына бекітілген жетектелуші тісті дөңгелегінің 28 тісі бар. Егер велосипедтің жетектеуші тісті дөңгелегін 38 рет айналдырса, оның жетектелуші тісті дөңгелегі неше рет айналады;
1) Находим длины рёбер пирамиды.
|AB|=√(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²) = √((−3−1)²+(−2−1)²+(−6−7)²) = √((−4)²+(−3)²+(−13)²) = √(16+9+169) = √194 ≈ 13,928.
|AC| = √((xC−xA)²+(yC−yA)²+(zC−zA)²) = √((3−1)²+(−4−1)²+(−2−7)²) = √(2²+(−5)²+(−9)²) = √(4+25+81) = √110 ≈ 10,488.
|BC| = √((xC−xB)²+(yC−yB)²+(zC−zB)²) = √((3−(−3))²+(−4−(−2))²+(−2−(−6))²) = √(6²+(−2)²+4²) = √(36+4+16) = √56 =2√14 ≈ 7,483.
Угол между ребрами AB и AC находим по по теореме косинусов:
∠(AB,AC) = arccos((|AB|²+|AC|²−|BC|²)/(2|AB|⋅|AC|)) = =arccos((194+110−56)/(2⋅√194*√110)) = arccos(248/2 13,928388*10,488088) = arccos0,8488373 = 0,557014 радиан = 31,914563 градусов.
Решение этой же задачи векторным
Составим направляющие векторы рёбер:
AB = {xab;yab;zab}={xB−xA;yB−yA;zB−zA}={−3−1;−2−1;−6−7}={−4;−3;−13},
AC = {xac;yac;zac}={xC−xA;yC−yA;zC−zA}={3−1;−4−1;−2−7}={2;−5;−9}.
Модули определены выше: |AB| = √194 |AC| = √110.
Скалярное произведение равно:
АВ х АС = (-4)*2 + (-3)*(-5) + (-13)*(-9) = -8 + 15 + 117 = 124.
cos(АВ х АС) = 124/(√194*√110) = 0,8488373.
Угол равен 31,914563 градусов.
2) Площадь грани ABC определяем как половину модуля векторного произведения АВ х АС.
Произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
Подставив данные, получаем АВ х АС = x y z
-38 -62 26 .
Модуль равен √((-38)² + (-62)² + 26²) = √(1444 + 3844 + 676 ) = √5964 .
Площадь грани АВС равна (1/2)√5964 ≈ 38,613469 кв.ед.
3) Проекция AB на CД. Вектор АВ равен {−4;−3;−13} (определён ранее).
Вектор СД равен {xD-xC, yD-yC, zD-zC} = (-3; 3; 4).
Модуль СД равен √34 ≈ 5,8309519.
Решение: Пр ba = a · b /|b| .
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-4) · (-3) + (-3) · 3 + (-13) · 4 = 12 - 9 - 52 = -49 .
Найдем модуль вектора:
|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √(-3)2 + 32 + 42 = √9 + 9 + 16 = √34
Пр ba = -49√34 ≈ -8,4034307.
4) Объем V пирамиды ABCД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; -2; -5).
Модуль равен √30 ≈ 5,477225.
x y z
AB*AC -38 -62 26
AD -1 -2 -5
Произведение 38 + 124 - 130 = 32.
V = (1/6) * 32 = 5,3333 куб.ед.
6) Уравнение высоты ДО пирамиды ABCД.
Эта высота - нормальный вектор плоскости АВС через точку Д.
Он будет являться направляющим вектором искомой прямой. Тогда её уравнение в каноническом виде запишется так.
(x-Дx)/A=(y-Дy)/B=(z-Дz)/C.
АВ х АС = (-38; -62; 26) . Д ( 0; -1; 2 )
Получаем уравнение ДО: x/(-38) = (y + 2)/(-62) = (z - 2)/26.
ОДЗ: sinx > 0 ⇒ x ∈ ( 2пn ; п + 2пn ) , n ∈ Z
4•( (1/2)•3•log₂(sinx) )² + 8•log₂(sinx) - 1 ≥ 09•log²₂(sinx) + 8•log₂(sinx) - 1 ≥ 0Пусть log₂(sinx) = a , a ≤ 0 , тогда9a² + 8a - 1 ≥ 09•( a - 1/9 )( a + 1 ) ≥ 0[ - 1 ][0][ 1/9 ]> aa ≤ - 1 ⇒ log₂(sinx) ≤ - 1 ⇒ log₂(sinx) ≤ log₂(1/2) ⇒ sinx ≤ 1/2x ∈ [ - 7п/6 + 2пn ; п/6 + 2пn ] , n ∈ ZС учётом ОДЗ ⇒ х ∈ [ - 7п/6 + 2пn ; - п + 2пn ) ∪ ( 2пn ; п/6 + 2пn ] , n ∈ ZОТВЕТ: [ - 7п/6 + 2пn ; - п + 2пn ) ∪ ( 2пn ; п/6 + 2пn ], n ∈ Z