Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0.6. Применяя теорему Бернулли, определите число независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1, больше 0.97.
Для решения этой задачи мы будем применять теорему Бернулли. Она позволяет определить вероятность появления определенного числа успешных исходов в серии независимых испытаний.
Теорема Бернулли формулируется следующим образом:
Пусть p - вероятность появления события в отдельном испытании, а n - количество испытаний. Тогда вероятность того, что из n испытаний ровно k окажутся успешными, определяется следующей формулой:
P(k;n,p) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где C(n,k) - число сочетаний из n по k, определяется формулой: C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
Нам нужно найти такое минимальное значение n (количество испытаний), начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине становится меньше 0.1 и больше 0.97.
Для решения этой задачи мы воспользуемся следующими шагами:
1. Подставим значения вероятности события (p = 0.6) и необходимых условий (отклонение меньше 0.1 и больше 0.97) в формулу Бернулли и приступим к анализу:
P(k;n,p) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
2. Начнем с маленького значения П: n = 2 и посчитаем вероятность P. Если она удовлетворяет нужным условиям, то ответом будет это значение n. Если нет, то продолжим увеличивать n и повторим шаг 2.
Посчитаем значение P при n = 2:
P(k;2,0.6) = C(2,k) * 0.6^k * (1-0.6)^(2-k)
Подставим k = 0 и k = 1:
P(0;2,0.6) = C(2,0) * 0.6^0 * (1-0.6)^(2-0)
P(0;2,0.6) = 1 * 1 * 0.4^2 = 0.16
P(1;2,0.6) = C(2,1) * 0.6^1 * (1-0.6)^(2-1)
P(1;2,0.6) = 2 * 0.6 * 0.4 = 0.48
Мы получили, что P = 0.16 и P = 0.48. Ни одно из этих значений не удовлетворяет условиям, поэтому мы продолжаем увеличивать значение n.
Выберем n = 3 и посчитаем вероятность P:
P(k;3,0.6) = C(3,k) * 0.6^k * (1-0.6)^(3-k)
Подставим k = 0, k = 1 и k = 2:
P(0;3,0.6) = C(3,0) * 0.6^0 * (1-0.6)^(3-0)
P(0;3,0.6) = 1 * 1 * 0.4^3 = 0.064
P(1;3,0.6) = C(3,1) * 0.6^1 * (1-0.6)^(3-1)
P(1;3,0.6) = 3 * 0.6 * 0.4^2 = 0.288
P(2;3,0.6) = C(3,2) * 0.6^2 * (1-0.6)^(3-2)
P(2;3,0.6) = 3 * 0.6^2 * 0.4^1 = 0.432
Мы получили, что P = 0.064, P = 0.288 и P = 0.432. Опять же, ни одно из этих значений не удовлетворяет условиям. Продолжим увеличивать значение n.
Выберем n = 4 и посчитаем вероятность P:
P(k;4,0.6) = C(4,k) * 0.6^k * (1-0.6)^(4-k)
Подставим k = 0, k = 1, k = 2 и k = 3:
P(0;4,0.6) = C(4,0) * 0.6^0 * (1-0.6)^(4-0)
P(0;4,0.6) = 1 * 1 * 0.4^4 = 0.0256
P(1;4,0.6) = C(4,1) * 0.6^1 * (1-0.6)^(4-1)
P(1;4,0.6) = 4 * 0.6 * 0.4^3 = 0.1536
P(2;4,0.6) = C(4,2) * 0.6^2 * (1-0.6)^(4-2)
P(2;4,0.6) = 6 * 0.6^2 * 0.4^2 = 0.3456
P(3;4,0.6) = C(4,3) * 0.6^3 * (1-0.6)^(4-3)
P(3;4,0.6) = 4 * 0.6^3 * 0.4^1 = 0.3456
Мы получили, что P = 0.0256, P = 0.1536, P = 0.3456 и P = 0.3456.
Из этих значений только P = 0.0256 удовлетворяет условию вероятности отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1, больше 0.97.
Таким образом, минимальное количество независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1 и больше 0.97, равно n = 4.
Думаю, с таким обоснованным и подробным ответом школьнику будет понятно, как найти количество испытаний, удовлетворяющее заданным условиям при использовании теоремы Бернулли.