Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вторым – 0,9.
Составить ряд распределения с.в. X – числа студентов, успешно сдавших
экзамен в случае, когда экзамен можно один раз пересдать. Вычислить
математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины, найти
функцию распределения случайной величины и построить ее график.
1. Нам нужно составить ряд распределения случайной величины X, которая представляет собой количество студентов, успешно сдавших экзамен. Эта случайная величина может принимать значения от 0 до 2 (так как есть два студента).
Пусть X = 0 соответствует случаю, когда ни один студент не сдал экзамен.
Пусть X = 1 соответствует случаю, когда только один студент сдал экзамен.
Пусть X = 2 соответствует случаю, когда оба студента сдали экзамен.
2. Теперь мы можем приступить к вычислению вероятностей для каждого значения X.
Вероятность того, что X = 0, можно вычислить как произведение вероятностей того, что первый и второй студенты не сдали экзамен: P(X = 0) = (1 - 0.6) * (1 - 0.9) = 0.4 * 0.1 = 0.04.
Вероятность того, что X = 1, можно вычислить как сумму двух случаев: первый студент сдал, а второй нет, или первый студент не сдал, а второй сдал: P(X = 1) = (0.6 * 0.1) + (0.4 * 0.9) = 0.06 + 0.36 = 0.42.
Вероятность того, что X = 2, можно вычислить как произведение вероятностей того, что оба студента сдали экзамен: P(X = 2) = 0.6 * 0.9 = 0.54.
3. Теперь давайте вычислим математическое ожидание этой случайной величины. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины можно вычислить как сумму произведений значений случайной величины и их вероятностей.
Математическое ожидание E(X) = (0 * 0.04) + (1 * 0.42) + (2 * 0.54) = 0 + 0.42 + 1.08 = 1.5.
4. Теперь давайте вычислим дисперсию этой случайной величины. Дисперсия случайной величины измеряет разброс значений относительно их среднего значения.
Дисперсия Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2,
где E(X^2) - это математическое ожидание квадрата случайной величины.
E(X^2) = (0^2 * 0.04) + (1^2 * 0.42) + (2^2 * 0.54) = 0 + 0.42 + 2.16 = 2.58.
Теперь мы можем вычислить дисперсию:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2.58 - (1.5)^2 = 2.58 - 2.25 = 0.33.
5. Наконец, давайте найдем функцию распределения случайной величины и построим ее график. Функция распределения случайной величины представляет собой сумму вероятностей всех значений случайной величины до данного значения.
Для X = 0: F(X = 0) = P(X = 0) = 0.04.
Для X = 1: F(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.04 + 0.42 = 0.46.
Для X = 2: F(X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.04 + 0.42 + 0.54 = 1.
Теперь мы можем построить график функции распределения случайной величины X, где по оси X откладываются значения случайной величины, а по оси Y - значения функции распределения. В данном случае, график будет иметь три точки: (0, 0.04), (1, 0.46) и (2, 1).
Это подробное и обстоятельное решение вопроса о составлении ряда распределения, вычислении математического ожидания, дисперсии, функции распределения и построении ее графика для данной случайной величины X.