Вершины D, E, F треугольника DEF лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС за вершины В, С и А соответственно. Известно, что BD=AC, AF=CE=AB и треугольник DEF равносторонний. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

Используем формулу n – ного члена геометрической прогрессии.

an = a1 * q(n-1).

a2 = a1 * q.

a3 = a1 * q2.

a4 = a1 * q3.

Тогда:

a1 + a1 * q3 = 30.

a1 * q + a1 * q2 = 10.

Вынесем общие множители за скобки.

a1 * (1 + q3) = 30.

a1 * q * (1 + q) = 10. (2)

(1 + q3) = (1 + q) * (1 – q + q2).

Тогда:

a1 * (1 + q3) = a1 * (1 + q) * (1 – q + q2) = 30. (1)

Уравнение 1 разделим на уравнение 2.

(1 – q + q2) / q = 30 / 10 = 3.

3 * q = (1 – q + q2).

q2 – 4 * q + 1 = 0.

Решим квадратное уравнение.

q1 = 2 + √3.

q2 = 2 - √3.

a1 * (2 + √3) * (1 + 2 + √3) = 10.

Если q1 = 2 + √3.

a1 = 10 / (9 + 5 * √3) = 10 * (9 - 5 * √3) / (9 + 5 * √3) * (9 - 5 * √3) = 5 * (9 - 5 * √3) / 6.

Если q1 = 2 - √3.

a1 = 5 * (9 + 5 * √3) / 6.

Пошаговое объяснение:

Запишем этот ряд в виде суммы
Сумма от 1 до n  1/((2n-1)*2n)
Переведём в интеграл по интегральному признаку Коши
int от 1 до беск
(как-то криво это делается) 
Находим этот интеграл и профит 
=0.5 * ln|(2x-1)/x)|= 0.5*ln|2-1/x|=0.5*(ln(2-1/inf) - ln (2-1/1)=0.5*ln(2/1)=0.5ln2 , ряд сходится (где-то знак потерян, судя по тому, что ln2<0 )

Ну или проще : 
Разбиваем каждый элемент суммы на разность: 
1/(1*2)= 1- 1/2 
1/(2*3)= 1/2-1/3 
и получаем что-то типа 
(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...=
1-1/2n = 1 , ряд сходится

upd
Можно было ещё по признаку сравнения прогнать : 1/(2n*2n)<1/((2n-1)*2n)<1/((2n-1)(2n-1)), как известно ряд 1/n^2 = 0, ряд 1/(n-1)^2=0, по признаку сравнению 0< твой ряд < 0 => твой ряд = 0

upd 2 
1/(a*b)= [1/(b-a)]*(1/a-1/b) = [1/(b-a)] * ((b-a)/(b*a)) ,  поэтому во втором сумма так раскладывается