Я вроде уже делала эту задачку. Все очень просто. Точка пересечения BE и AD обозначена мной, как K. Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть - BK) перпендикулярна основанию AD. AK = KD = 14; Это означает, что AB = BD = BC/2. Само собой, отсюда сразу же следует AE = EC/2, поскольку BE - биссектриса. Если теперь провести через точку E прямую EF II AD, то DF = CF/2; (F лежит на BC) Это означает, что DF = BD/3; следовательно, KE = BK/3; Отсюда BK = 21; KE = 7; AB = √(14^2 + 21^2) = 7√13; BC = 14√13; AE = √(7^2 + 14^2) = 7√5; AC = 21√5;
Рассмотрим треугольник ABD. BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°. ∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса). Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, AB=BD. Т.е. треугольник ABD - равнобедренный. BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника). Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104. Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC. ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам. Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816 SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816 Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816 Тогда, SABС=3*10816=32448 AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (повторому свойству медианы). SABD=(AD*BO)/2=SABC/2 (208*BO)/2=32448/2 BO=32448/208=156 Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора: AB2=BO2+AO2 AB2=1562+1042 AB2=24336+10816=35152 AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13 BC=2AB=2*52√13=104√13 Рассмотрим треугольник AOE. OE=BE-BO=208-156=52 Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора: AE2=AO2+OE2 AE2=1042+522=10816+2704=13520 AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5 Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем: BC/AB=CE/AE 104√13/52√13=CE/(52√5) 2=CE/(52√5) CE=104√5 AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5 ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5
Точка пересечения BE и AD обозначена мной, как K.
Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть - BK) перпендикулярна основанию AD.
AK = KD = 14;
Это означает, что AB = BD = BC/2.
Само собой, отсюда сразу же следует AE = EC/2, поскольку BE - биссектриса.
Если теперь провести через точку E прямую EF II AD, то DF = CF/2; (F лежит на BC)
Это означает, что DF = BD/3; следовательно, KE = BK/3;
Отсюда BK = 21; KE = 7;
AB = √(14^2 + 21^2) = 7√13; BC = 14√13;
AE = √(7^2 + 14^2) = 7√5; AC = 21√5;
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (повторому свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13
BC=2AB=2*52√13=104√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
104√13/52√13=CE/(52√5)
2=CE/(52√5)
CE=104√5
AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5
ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5