В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
sovuhe465
sovuhe465
07.08.2022 04:50 •  Математика

Вкакое максимальное число раз может увеличиться и в какое максимальное число раз может уменьшиться сумма цифр натурального числа при его умножении на 8?
ответ я знаю, в 8 раз в обоих случаях.
1*8 = 8 - сумма цифр увеличилась в 8 раз
125*8 = 1000 - сумма цифр уменьшилась в 8 раз.
вопрос - как это доказать?

Показать ответ
Ответ:
хіха
хіха
04.10.2020 11:54

Лемма: рассмотрим числа, в записи которых отсутствует 0. Тогда при умножении этого числа на 8 сумма его цифр увеличится не более чем в 8 раз.

Доказательство: предположим противное. Пусть s(n) - сумма цифр числа n, а r(n) - количество цифр числа n. Тогда r(8n)\geq [\frac{\alpha s(n)}{9}], где \alpha\geq 9, с другой стороны r(n)\leq s(n), значит, s(n)\geq[\frac{\alpha s(n)}{9}], что неверно для \alpha \geq 10. Если \alpha=9, то число n состоит только из единиц, а число 8n - из девяток, что, очевидно, неверно. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь произвольное число x, где есть нули. Выберем такое число y, что во всех отличных от нуля цифрах числа x оно с ним совпадает, а в нулевых цифрах у него единицы (например, для числа x=8048903 число y было бы 8148913). Тогда x-y - есть число, состоящее из 1 и 0. В свою очередь 8x-8y состоит из 8 и 0.

Если s(8x)=ks(x),\;k\geq 9, то применяя лемму, получим s(8x)-s(8y)8(s(x)-s(y)), с другой стороны s(8x)-s(8y)\leq7(s(x)-s(y)), что видно из механизма умножения в столбик таких чисел. Противоречие.

Пример: 1*8=8

Задача про минимум решается аналогично

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота