Пусть корни уравнения a, b и c, тогда левая часть уравнения должна представляться в виде (x - a)(x - b)(x - c) = x^3 - (a + b + c) x^2 + (ab + ac + bc) x - abc. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему из трех уравнений:
a + b + c = 30
ab + ac + bc = m
abc = 780
Без ограничения общности можно считать, что a ≤ b ≤ c. Чтобы это три числа были длинами сторон прямоугольного треугольника, они должны быть положительными, и по теореме Пифагора c^2 = a^2 + b^2.
Немного перепишем первое уравнение и возведём его в квадрат:
a + b = 30 - c
(a + b)^2 = (30 - c)^2
a^2 + b^2 + 2ab = 900 - 60c + c^2
(a^2 + b^2 - c^2) + 2ab = 900 - 60c – выражение в скобках равно нулю
2ab = 900 - 60c
ab = 450 - 30c = 30(15 - с)
Подставляем в третье уравнение:
30(15 - с)с = 780
(15 - с)с = 26
с^2 - 15c + 26 = 0
Корни угадываем по теореме Виета, c = 2 или 13.
1) Если c = 2, то a + b = 30 - 2 = 28; ab = 30 * (15 - 2) = 390. По теореме Виета a, b – корни уравнения t^2 - 28t + 390 = 0, но у этого уравнения дискриминант отрицательный: D/4 = 196 - 390 < 0, – и поэтому нет корней.
2) Если c = 13, то a + b = 30 - 13 = 17; ab = 30 * (15 - 13) = 60. Аналогично, a, b – корни уравнения t^2 - 17t + 60 = 0. У этого уравнения D > 0, так что корни существуют.
2. Вид непрерывного транспорта3. Прибор для измерения скорости ветра удобного ремонта машины для поддержания в рабочем состоянии6. Индексация для стреловых и башенных кранов7. Машина для перевозки земли9. Двигатель на машинах мощностью 10 квт11. Вид экскаватора12. Процесс последовательного уменьшения размера кусков материала от первоначальной крупности до требуемой13. Машины на базе углов грузовых автомобилей14. Устройство обеспечивающие передачу движения от двигателя к исполнительному механизму машины передвигаться и разворачиваться в стесненных условиях16. Двигатель строительных машин17. Механизм для подачи бетона19. Предназначены для уменьшения трения20. Предназначены для уменьшения трения23. Машина для послойного разрыхления грунтов с последующей уборкой24. Краны, применяемые для строительство мостов, плотин
Пусть корни уравнения a, b и c, тогда левая часть уравнения должна представляться в виде (x - a)(x - b)(x - c) = x^3 - (a + b + c) x^2 + (ab + ac + bc) x - abc. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему из трех уравнений:
a + b + c = 30
ab + ac + bc = m
abc = 780
Без ограничения общности можно считать, что a ≤ b ≤ c. Чтобы это три числа были длинами сторон прямоугольного треугольника, они должны быть положительными, и по теореме Пифагора c^2 = a^2 + b^2.
Немного перепишем первое уравнение и возведём его в квадрат:
a + b = 30 - c
(a + b)^2 = (30 - c)^2
a^2 + b^2 + 2ab = 900 - 60c + c^2
(a^2 + b^2 - c^2) + 2ab = 900 - 60c – выражение в скобках равно нулю
2ab = 900 - 60c
ab = 450 - 30c = 30(15 - с)
Подставляем в третье уравнение:
30(15 - с)с = 780
(15 - с)с = 26
с^2 - 15c + 26 = 0
Корни угадываем по теореме Виета, c = 2 или 13.
1) Если c = 2, то a + b = 30 - 2 = 28; ab = 30 * (15 - 2) = 390. По теореме Виета a, b – корни уравнения t^2 - 28t + 390 = 0, но у этого уравнения дискриминант отрицательный: D/4 = 196 - 390 < 0, – и поэтому нет корней.
2) Если c = 13, то a + b = 30 - 13 = 17; ab = 30 * (15 - 13) = 60. Аналогично, a, b – корни уравнения t^2 - 17t + 60 = 0. У этого уравнения D > 0, так что корни существуют.
m = ab + c(a + b) = 60 + 13 * 17 = 281.
ответ. m = 281