Водном сосуде 2а литра воды, а другой пустой. из - вопрос №2128003973 от захар182 15.06.2020 11:42

Question

Математика: Водном сосуде 2а литра воды, а другой пустой. из 1 сосуда переливают половину воды во 2, затем из 2 переливают 1/3 воды в 1, затем из 1 переливают 1/4 воды во 2 и т.д. сколько литров воды будет в 1 сосуде после 1995 переливаний?

захар182 · Answer

После первого переливания у нас в обеих стаканах было по а.
После 2-ого и 3-ого переливаеия в сосудах снова станит по а.
Выдвенем теорию: после каждых двух переливаний после первого в обеих сосудах будет по а литров. Докажем ее.
Посмотрим как изменится положение в первом сосуде после k-ого и (k+1)-ого хода. У нас в первом сосуде по предположению 1/2, а во втором тоже 1/2:
$\frac{1}{2} +( \frac{1}{k} * \frac{1}{2})= \frac{k}{2k}+ \frac{1}{2k} = \frac{k+1}{2k} \\\\ 
 \frac{k+1}{2k}-( \frac{1}{k+1} * \frac{k+1}{2k} )= \frac{k+1}{2k} - \frac{1}{2k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$ .
Доказано.
От 1995 отнимаем 1 (первое переливание) и потом после каждого второго в первом сосуде а литров, и поскольку 1995-1=1994 - четное число, то в первом сосуде останится а литров.