Вправильной четырехугольной пирамиде со стороной основания а и боковым ребром b через сторону основания и среднюю линию противоположной боковой грани проведена плоскость вычислите плоскость сечения
Пирамида правильная и каждой стороне основания соответствует только одна боковая грань, поэтому всего возможно 4 сечения плоскостью в пирамиде с фиксированными точками, эти сечения все будут одинаковыми т.к. пирамида правильная и у ней есть ось симметрии, всё одинаково. Поэтому нужно найти только одну площадь сечения.
Так вот, пусть эта плоскость проходит через сторону основания BC и среднюю линию ΔAED - MN. Тогда сечение это равнобокая трапеция MNCB, т.к. MN║AD (как средняя линия ΔAED), AD║BC (как противоположные стороны квадрата ABCD) --> MN║BC;
И MB=NC как соответственные медина в равных треугольниках (ΔAEB и ΔDEC).
Площадь трапеции можно узнать через высоту трапеции и среднюю линию.
где QS это средняя линяя трапеции MNCB.
Найдём MB: в ΔAEB: по теореме косинусов:
∠EAB=∠MAB как углы с общими сторонами.
в ΔMBA: по теореме косинусов:
В трапеции MNCB: проведём высоты MH и NP из вершин M и N на сторону BC соответственно. ΔMHB=ΔNPC по углу и гипотенузе. Значит BH=PC
Пирамида правильная и каждой стороне основания соответствует только одна боковая грань, поэтому всего возможно 4 сечения плоскостью в пирамиде с фиксированными точками, эти сечения все будут одинаковыми т.к. пирамида правильная и у ней есть ось симметрии, всё одинаково. Поэтому нужно найти только одну площадь сечения.
Так вот, пусть эта плоскость проходит через сторону основания BC и среднюю линию ΔAED - MN. Тогда сечение это равнобокая трапеция MNCB, т.к. MN║AD (как средняя линия ΔAED), AD║BC (как противоположные стороны квадрата ABCD) --> MN║BC;
И MB=NC как соответственные медина в равных треугольниках (ΔAEB и ΔDEC).
Площадь трапеции можно узнать через высоту трапеции и среднюю линию.
Найдём MB: в ΔAEB: по теореме косинусов:
∠EAB=∠MAB как углы с общими сторонами.
в ΔMBA: по теореме косинусов:
В трапеции MNCB: проведём высоты MH и NP из вершин M и N на сторону BC соответственно. ΔMHB=ΔNPC по углу и гипотенузе. Значит BH=PC
В ΔMHB: по теореме пифагора:
Зная высоту и среднюю линию находим площадь:
ответ: (3a/16)*√(7a²+4b²).