Вправильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. ( сфера касается всех граней пирамиды.) найдите площадь этой сферы.
Ведём обозначения: - высота пирамиды Н, - сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a, - боковое ребро равно b. Пусть PM — высота Н правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рисунок дан в приложении), r — искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанной сферы лежит на прямой PM, точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и середину K стороны AB основания ABCD . Получим равнобедренный треугольник PKL (L — середина DE) и вписанную в него окружность радиуса rс центром на высоте PM. Центр Q этой окружности лежит на биссектрисе KQ угла PKM прямоугольного треугольника PKM, а QM = r. Из прямоугольных треугольников PMA и PKA находим, что PM = √(AP² − AM²) = √(b² - а²),PK = √(AP² − AK²) = √(b² − (а/2)²)2 = √(4b² - а²)/2. По свойству биссектрисы треугольника QM / QP = KM / KP , поэтому QM / PM = KM /( KM + KP). Следовательно,r = QM = PM · (KM /( KM + KP)) = √(b² − a²)* · ((a√3/2)/((a√3/2) + (√4b² - a²)/2))2 = =( a√3*√(b² − a²) / (a√3 + √(4b² − а²)).
На основании исходных данных определяем сторону а основания.Сторона а равна половине диагонали АD (это радиус описанной окружности) : а = √(b² - Н²) = √(100 - 36) = √64 = 8. Подставив значения a и b в полученную формулу, находим радиус вписанного в пирамиду шара. r = (8√3*√(100-64))/(8√3+√(4*100-64)) = 48√3/(8√3+4√21) = = 48√3/(8√3+4√3*√7) = 48√3/(4√3(2+√7)) = 12/(2+√7) = = 12(2-√7)/((2+√7)(2-√7)) = 12(2-√7)/(4-7) = -4(2-√7) = 4√7-8 ≈ ≈ 2,583005.
- высота пирамиды Н,
- сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a,
- боковое ребро равно b.
Пусть PM — высота Н правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рисунок дан в приложении), r — искомый радиус.
Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанной сферы лежит на прямой PM, точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и середину K стороны AB основания ABCD . Получим равнобедренный треугольник PKL (L — середина DE) и вписанную в него окружность радиуса rс центром на высоте PM.
Центр Q этой окружности лежит на биссектрисе KQ угла PKM
прямоугольного треугольника PKM, а QM = r.
Из прямоугольных треугольников PMA и PKA находим, что
PM = √(AP² − AM²) = √(b² - а²),PK = √(AP² − AK²) = √(b² − (а/2)²)2 = √(4b² - а²)/2. По свойству биссектрисы треугольника QM / QP = KM / KP , поэтому QM / PM = KM /( KM + KP).
Следовательно,r = QM = PM · (KM /( KM + KP)) = √(b² − a²)* · ((a√3/2)/((a√3/2) + (√4b² - a²)/2))2 =
=( a√3*√(b² − a²) / (a√3 + √(4b² − а²)).
На основании исходных данных определяем сторону а основания.Сторона а равна половине диагонали АD (это радиус описанной окружности) : а = √(b² - Н²) = √(100 - 36) = √64 = 8.
Подставив значения a и b в полученную формулу, находим радиус вписанного в пирамиду шара.
r = (8√3*√(100-64))/(8√3+√(4*100-64)) = 48√3/(8√3+4√21) =
= 48√3/(8√3+4√3*√7) = 48√3/(4√3(2+√7)) = 12/(2+√7) =
= 12(2-√7)/((2+√7)(2-√7)) = 12(2-√7)/(4-7) = -4(2-√7) = 4√7-8 ≈ ≈ 2,583005.