Впрямой круговой конус с углом при вершине в 60° и радиусом основания l вписан шар. над шаром расположен второй шар, который касается боковой поверхности конуса и первого шара. найти радиус второго шара.

Средне-геометрическим двух неотрицательны чисел      и  
называют величину  

Если это выражение возвести в квадрат и слева и справа,
то мы получим, что:  

или просто:  

Тогда условие задачи, можно переформулировать так: «произведение двух самых маленьких чисел равно      а произведение двух самых больших равно      »

Произведение 16 можно составить из разных натруральных чисел
только двумя

I.    

II.    

Поскольку это должны быть минимальные числа,
то остальные числа могут быть только больше.

I*   В первом случае остальные числа могут быть только больше        т.е.:   

Но произведение даже

И произведение любых двух чисел, больших, чем        каждое – будет, очевидно, больше чем        т.е. больше         а значит, при выборе минимальных чисел в виде         и         – подобрать остальные числа невозможно.

II*   Во втором случае остальные числа могут быть только больше        т.е.:   

Рассмотрим разложение на множители числа    



На подойдут только числа, большие восьми и не равные друг другу,
т.е.        и   

Таким образом Вася выбрал числа     и   

В диапазон между         и         Вася никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда минимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы   

Между         и         никаких натуральных чисел нет.

В диапазон между         и         Вася тоже никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда максимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы   

Сумма всех Васиных чисел:    

О т в е т :

Разложим числа в числителе и знаменателе на простые числа Числитель: 2 * 9 * 12 = 2 * 3 * 3 * 2 * 6 = 2 * 3 * 3 * 2 * 2 * 3.
Знаменатель: 6 * 8 * 3 = 2 * 3 * 2 * 4 * 3 = 2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3.
То есть получим следующее выражение:
(2 * 9 * 12) / (6 * 8 * 3) = (2 * 3 * 3 * 2 * 2 * 3) / (2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3).
Произведем сокращение одинаковых чисел в числителе и знаменателе. (2 * 3 * 3 * 2 * 2) - эта скобка общие сокращаемые числа.
Числитель: (2 * 3 * 3 * 2 * 2 * 3) / (2 * 3 * 3 * 2 * 2) = 3.
Знаменатель: (2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3) / (2 * 3 * 3 * 2 * 2) = 2.
Следовательно, выражение (2 * 9 * 12) / (6 * 8 * 3) после сокращений станет равным 3/2.
6 * 25 / 35 * 8 = (3 * 2 * 5 * 5) / (5 * 7 * 2 * 2 * 2) = (3 * 5) / (7 * 2 * 2) = 15/28.
9 * 5 + 9 * 3 / 2 * 81 = 9 * 5 + (3 * 3 * 3) / (2 * 3 * 3 * 3 * 3) = 9 * 5 + 1/6 = 45 + 1/6 = 270/6 + 1/6 = 271/6.
ответ: (2 * 9 * 12) / (6 * 8 * 3) = 3/2; 6 * 25 / 35 * 8 = 15/28; 9 * 5 + 9 * 3 / 2 * 81 = 271/6.