Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 3√2. O-точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите длину отрезка прямой, проходящей через точку O и параллельной прямой A1C, расположенного внутри призмы.
Пошаговое объяснение: 1) Из Δ АА₁С-прямоугольного по т. Пифагора имеем: А₁С² = АА²+АС² =(3√2)²+(3√2)²=28+18=36, значит
А₁С=6 2)Через точку О проведём отрезок ОЕ ║ А₁С Е- точка пересечения отрезка ОЕ и ребра АА₁ 3)Рассмотрим Δ ЕАО и Δ А₁АС, они прямоугольные, т.к. АА₁⊥пл.АВС, у них ∠ А₁СА = ∠ЕОА, т.к. ОЕ║А₁С Значит Δ ЕАО и Δ А₁АС подобны, ⇒ их соотв.стороны пропорциональны, т.е А₁С:ОЕ=АС:АО 4) Используем св-во медиан правильного треугольника (точкой пересечения они делятся в отношении 2:1, т.е Отрезок АО составляет 2/3 части всей медианы АД. АД= АВ·Sin∠A = 3√2 · √3/2 = 3√6/2 Значит АО=2/3 · АД =√6 5) подставим в пропорцию из пункта 3 , получим 6 : ОЕ = 3√2 : √6 ОЕ = 2√3
ответ: 2√3
Пошаговое объяснение: 1) Из Δ АА₁С-прямоугольного по т. Пифагора имеем: А₁С² = АА²+АС² =(3√2)²+(3√2)²=28+18=36, значит
А₁С=6 2)Через точку О проведём отрезок ОЕ ║ А₁С Е- точка пересечения отрезка ОЕ и ребра АА₁ 3)Рассмотрим Δ ЕАО и Δ А₁АС, они прямоугольные, т.к. АА₁⊥пл.АВС, у них ∠ А₁СА = ∠ЕОА, т.к. ОЕ║А₁С Значит Δ ЕАО и Δ А₁АС подобны, ⇒ их соотв.стороны пропорциональны, т.е А₁С:ОЕ=АС:АО 4) Используем св-во медиан правильного треугольника (точкой пересечения они делятся в отношении 2:1, т.е Отрезок АО составляет 2/3 части всей медианы АД. АД= АВ·Sin∠A = 3√2 · √3/2 = 3√6/2 Значит АО=2/3 · АД =√6 5) подставим в пропорцию из пункта 3 , получим 6 : ОЕ = 3√2 : √6 ОЕ = 2√3