Вшколе 953 ученика. одни из них знакомы, другие не знакомы друг с другом. доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников этой школы четно.
Для доказательства того, что хотя бы у одного из учеников число знакомых среди учеников этой школы четно, рассмотрим следующую ситуацию:
Предположим, что у каждого ученика ровно три знакомых. Тогда общее число знакомств будет равно 3 * 953 = 2859. Обратите внимание, что это нечетное число.
Однако, каждое знакомство считается дважды: один раз для каждого из двух участников. Таким образом, каждое знакомство можно представить как две связи между учениками. Например, если ученик А знаком с учеником Б, то это можно представить как две связи: А-Б и Б-А.
Вышеуказанные отношения можно представить в виде графа, где ученики - вершины, а знакомства - ребра. Таким образом, каждое из 953 знакомств будет соответствовать двум ребрам в этом графе.
Из этого следует, что общее число ребер в графе равно половине от общего числа знакомств:
число ребер = 2859 / 2 = 1429.5
Но так как число ребер должно быть целым числом (так как нельзя иметь половину ребра), мы округляем его до ближайшего целого числа:
число ребер = 1430
Теперь заметим, что в графе с 953 вершинами (учениками) не может быть больше 1430 ребер, так как каждые две связи (например, А-Б и Б-А) относятся к одному знакомству.
Следовательно, по принципу Дирихле, если в графе есть более 1430 ребер, то какой-то ученик должен иметь более трех знакомых. В нашем случае число ребер равно 1430, что означает, что хотя бы у одного ученика число знакомых среди учеников этой школы четно.
Таким образом, доказано, что хотя бы у одного из учеников число знакомых среди учеников этой школы четно.
Предположим, что у каждого ученика ровно три знакомых. Тогда общее число знакомств будет равно 3 * 953 = 2859. Обратите внимание, что это нечетное число.
Однако, каждое знакомство считается дважды: один раз для каждого из двух участников. Таким образом, каждое знакомство можно представить как две связи между учениками. Например, если ученик А знаком с учеником Б, то это можно представить как две связи: А-Б и Б-А.
Вышеуказанные отношения можно представить в виде графа, где ученики - вершины, а знакомства - ребра. Таким образом, каждое из 953 знакомств будет соответствовать двум ребрам в этом графе.
Из этого следует, что общее число ребер в графе равно половине от общего числа знакомств:
число ребер = 2859 / 2 = 1429.5
Но так как число ребер должно быть целым числом (так как нельзя иметь половину ребра), мы округляем его до ближайшего целого числа:
число ребер = 1430
Теперь заметим, что в графе с 953 вершинами (учениками) не может быть больше 1430 ребер, так как каждые две связи (например, А-Б и Б-А) относятся к одному знакомству.
Следовательно, по принципу Дирихле, если в графе есть более 1430 ребер, то какой-то ученик должен иметь более трех знакомых. В нашем случае число ребер равно 1430, что означает, что хотя бы у одного ученика число знакомых среди учеников этой школы четно.
Таким образом, доказано, что хотя бы у одного из учеников число знакомых среди учеников этой школы четно.