Втреугольной пирамиде sabc с основанием abc точка m—середина ребра sa, точка k— середина ребра sb,o— точка пересечения медиан основания.
докажите, что плоскость cmk делит отрезок so в отношении 3: 2, считая от вершины s.

Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ребром ВС по оси Оу.

Определяем координаты точек плоскостей CMK и ABC.

Но сначала надо определить высоту пирамиды Н:

Н = √(6² - ((2/3)*(4*√3/2))²) = √(92/3).

А(2√3; 2; 0), В(0; 0; 0), С(0; 4; 0).

С(0; 4; 0), М(4√3/3; 2; (√92/2√3)), К(√3/3; 1; (√92/2√3)).

По трём точкам находим уравнения плоскостей АВС и СМК.

АВС: -13,8564z  = 0.

СМК: 2,76887x - 4,79583y - 5,7735z + 19,1833 = 0 .

                 |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                        0 + 0 - 13,8564

cos α =   =   =

     √(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)       √192 * √64

          = 0,721688.

Угол равен arc cos 0,721688 = 0,76456 радиан  = 43,806 градуса.