Выбрать верные утверждения. 1) Грани тетраэдра – это треугольники, из которых состоит тетраэдр.
2) Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 — поверхность, составленная из двух равных прямоугольников ABCD и A1B1C1D1 и четырёх прямоугольников AA1D1D, DD1C1С, BB1C1C и AA1B1B.
3) Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий две вершины любой грани.
4) Сечением тетраэдра могут быть только треугольники и четырёхугольники, так как тетраэдр имеет 4 грани.
5) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
A) 1; 3; 4; B) 1; 2; 3; C) 1; 3; 5; D) 1; 4; 5.
2. Назвать все пары скрещивающихся рёбер тетраэдра MPEK на рисунке 1.
A) MP и KE; MK и PE; ME и PK; B) MP и PE; MK и PE; ME и PK;
C) MP и KE; MK и KE; ME и PK; D) MP и KE; MK и PE; ME и EK.
Выбрать верные утверждения, используя рисунок 2.
1) Х – точка пересечения прямой МЕ и плоскости АВС.
2) Р – точка пересечения прямой ЕК и плоскости АВD.
3) Точки Х и Р лежат в одной плоскости.
A) 2 и 3; B) 1 и 3; C) 1 и 2; D) 1; 2 и 3.
4. На рисунке 3 точка М принадлежит боковой грани CC1D1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Через точку М проведите сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости АВС. Найдите площадь этого сечения, если АВ=5 см, AD=7 см, AA1=9 см.
A) 45 см2; B) 35 см2; C) 63 см2; D) 21 см2.
5. Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на рисунке 4 является квадрат со стороной 10 см и боковым ребром, равным 12 см. Угол B1BD – прямой. Проведите сечение параллелепипеда через точки B, D и В1 и найдите площадь этого сечения.
2) Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 — поверхность, составленная из двух равных прямоугольников ABCD и A1B1C1D1 и четырёх прямоугольников AA1D1D, DD1C1С, BB1C1C и AA1B1B. - Неверно. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником, а не двумя прямоугольниками и четырьмя прямоугольниками. Ответ: B.
3) Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий две вершины любой грани. - Верно. Диагональю параллелепипеда является отрезок, соединяющий две вершины любой грани параллелепипеда. Ответ: C.
4) Сечением тетраэдра могут быть только треугольники и четырёхугольники, так как тетраэдр имеет 4 грани. - Неверно. Сечением тетраэдра могут быть не только треугольники и четырёхугольники, но и другие многоугольники в зависимости от положения плоскости сечения относительно тетраэдра. Ответ: D.
5) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. - Неверно. Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке, но не обязательно делятся пополам. Ответ: нет правильного ответа.
2. Назвать все пары скрещивающихся рёбер тетраэдра MPEK на рисунке 1.
- Пары скрещивающихся рёбер тетраэдра MPEK на рисунке 1: MP и KE; MK и PE; ME и PK. Ответ: A.
Выбрать верные утверждения, используя рисунок 2.
1) Х – точка пересечения прямой МЕ и плоскости АВС. - Неверно. Точка Х – точка пересечения прямой МЕ и плоскости ADС, а не АВС. Ответ: нет правильного ответа.
2) Р – точка пересечения прямой ЕК и плоскости АВD. - Неверно. Точка Р – точка пересечения прямой ЕК и плоскости АВС, а не АВD. Ответ: нет правильного ответа.
3) Точки Х и Р лежат в одной плоскости. - Верно. Точки Х и Р лежат в одной плоскости ADС, так как они обе принадлежат этой плоскости. Ответ: B.
4. На рисунке 3 точка М принадлежит боковой грани CC1D1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Через точку М проведите сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости АВС. Найдите площадь этого сечения, если АВ=5 см, AD=7 см, AA1=9 см.
- Поскольку сечение проводится плоскостью, параллельной плоскости АВС, то площадь этого сечения будет равна площади прямоугольника АВММ1. По условию АВ = 5 см, AD = 7 см и AA1 = 9 см, значит, высота прямоугольника равна AD = 7 см, а ширина равна АВ = 5 см. Площадь прямоугольника АВММ1 равна 5 см * 7 см = 35 см2. Ответ: B.
5. Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на рисунке 4 является квадрат со стороной 10 см и боковым ребром, равным 12 см. Угол B1BD – прямой. Проведите сечение параллелепипеда через точки B, D и В1 и найдите площадь этого сечения.
- Если провести сечение параллелепипеда через точки B, D и В1, то получится треугольник BDB1. Дано, что угол B1BD – прямой, а сторона B1B равна 10 см. Для нахождения площади треугольника BDB1 нужно знать длину стороны BD. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике B1BD с катетами B1B = 10 см и BD = 12 см можно найти гипотенузу DB:
DB^2 = (B1B)^2 + (BD)^2
DB^2 = 10^2 + 12^2
DB^2 = 100 + 144
DB^2 = 244
DB = √244
DB ≈ 15.62 см
Таким образом, площадь треугольника BDB1 равна (B1B * BD) / 2 = (10 см * 15.62 см) / 2 ≈ 78.1 см^2. Ответ: нет правильного ответа.