Вычислить, чему будет равен предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^{4}+2n^{3}+1 } + n}{\sqrt[4]{n} *\sqrt{n^{2}+2n+2 }-2n }$

Показать ответ

Ответ:

mneo98

24.06.2020 18:57

Исследовать функцию и построить график $y = \frac{1}{1- x^{2}}$

1) Область определения функции
$1- x^{2} \neq 0 \\ x \neq \pm 1$

2) Точки пересечения графика функции с осью OY
$y (0) = \frac{1}{1- 0^{2}} = 1$ точка пересечение (0; 1)

3) Исследуем функции на четность

$y(-x) = \frac{1}{1- (-x)^{2}} = \frac{1}{1- x^{2}}$

Так как f(-x) = f(x) , то функция является четной

4) Функция имеет две точки разрыва -1 и 1 , поэтому график функции имеет две вертикальные асимптоты х =-1 и х =1.

Найдем наклонные асимптоты y = k*x + b , где

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x(1-x^2)} = \frac{1}{ \infty} = 0$

Так как k=0, то наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные.

Найдем теперь коэффициент b.

$b= \lim_{x \to \infty} [f(x)-kx] = \frac{1}{1- x^{2}} = \frac{1}{ \infty} = 0$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу y = kx + b, получаем, что y = 0 - горизонтальная асимптота.

5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0

$y' = (\frac{1}{1- x^{2}})' = \frac{1' * (1- x^{2} ) - 1*(1-x^2)'}{(1- x^{2} )'} = \frac{2x}{(1-x^2)^2}$

Тогда

$\frac{2x}{(1-x^2)^2} = 0 \ \Rightarrow \ x =0$

Получилась одна критическая точка.

6) Найденные точки разрыва и точки экстремума, разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной (у') на каждом интервале.

x x<-1 -1<x<0 0 0<x<1 x>1

y' - - 0 + +

y убыв. убыв. 1 воз. воз.

В точке экстремума (х=0) производная меняет знак с "-" на "+" значит это точка минимума.

7) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

$y'' = ( \frac{2x}{(1- x^{2} )^2} )' = \frac{2(1- x^{2} )+8 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} = \frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3}$

Решаем методом интервалов

$\frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} =0$

$2(1- x^{2} )+8 x^{2} = 0 \ \bigcup \ }{(1- x^{2} )^3 \neq 0$

Корней нет, значит точек перегиба нет и $x \neq \pm1$

Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки , в нашем случае это точки –1; 0 ; 1.

Методом интервалов определяем знаки f''(x) на полученных интервалах.

Интервал X < -1 ,

f''(x) = "–" < 0 - график функции является выпуклым на данном интервале;

Интервал – 1 < X < 1 ,

f''(x) = "+" > 0 - график функции является вогнутым на данном интервале;

Интервал X > 1 ,

f''(x) = "–" < 0 - график функции является выпуклым на данном интервале;

8) Построим график функции. Данные для построения и сам график, представлены ниже

Y=1/1-x^2 исследовать функцию и построить график

0,0(0 оценок)

Ответ:

П6о6л6я

24.06.2020 18:57

Все делается в Mathcad
пересечение с OY в x=0 при этом y=2. функция ни четная ни нечетная Все остальное опишешь по графику
Подставляешь вместо x сначала +бесконечность - получится, что значение функции тоже будет бесконечным, потом поставляешь -бесконечность - значение функции будет - бесконечность, значит область определения - от - бесконечность до + бесконечность,
Находишь производную функции - получается 45x^4-45x^2
Приравниваешь эту производную к нулю - решаешь уравнение (вынося x^2 за скобку) - получается x имеет экстремумы в точках x=-1 x=0 x=1, отмечаешь все эти на графике. Функция воозрастает на отрезке (включительно) от -бесконечность до -1, и на отрезке от (включительно ) 1 до + бесконечность. А убывает от -1 до 1. ВСЕ РИСУЕШЬ!

Какое решение ты хочешь?

Y=9x^5-15x^3+2 исследовать функции и построить график