Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычислить длину дуги:

Вычислить длину дуги:

Показать ответ

Ответ:

123456на

18.04.2021 10:58

$l = \int\limits^{ a } _ {b} \sqrt{1 + {(y')}^{2} } dx$

$y' = x - \frac{1}{2x} \\$

$l = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{1 + {(x - \frac{1}{2x}) }^{2} } dx = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{1 + ( \frac{2 {x}^{2} - 1 }{2x} ) {}^{2} } dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{1 + \frac{ {(2 {x}^{2} - 1)}^{2} }{4 {x}^{2} } } dx = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{ \frac{4 {x}^{2} + 4 {x}^{4} - 4 {x}^{2} + 1 }{4 {x}^{2} } } dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ {1} \frac{ \sqrt{4 {x}^{4} + 1 } }{2x} dx \\ \\ \sqrt{4 {x}^{4} + 1} = t \\ \frac{16 {x}^{3} }{2 \sqrt{4 {x}^{4} + 1} } dx = dt \\ dx = \frac{ \sqrt{4 {x}^{4} + 1} }{8 {x}^{3} } dt \\ \frac{dx}{x} = \frac{ \sqrt{4 {x}^{4} + 1} }{8 {x}^{4} } dt \\ {x}^{4} = \frac{ {t}^{2} - 1}{4} \\ \frac{dx}{x} = \sqrt{4 {x}^{4} + 1} dt \times \frac{4}{8 ({t}^{2} - 1) } \\ \frac{dx}{x} = \frac{tdt}{2( {t}^{2} - 1)} \\ t1 = \sqrt{4 \times 16 + 1} = \sqrt{65} \\ t2 = \sqrt{4 \times 1 + 1} = \sqrt{5} \\ \\ \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \frac{t \times tdt}{2(t {}^{2} - 1)} = \frac{1}{2} \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \frac{ {t}^{2} - 1 + 1 }{ {t}^{2} - 1 } dt = \\ = \frac{1}{2} \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \: dt + \frac{1}{2} \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \frac{dt}{t {}^{2} - 1 } = \\ = (\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} ln | \frac{t - 1}{t + 1} | ) |^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } = \\ = \frac{ \sqrt{65} }{2} + \frac{1}{4} ln | \frac{ \sqrt{65} - 1 }{ \sqrt{65} + 1} | - \frac{ \sqrt{5} }{2} - \frac{1}{4} ln | \frac{ \sqrt{5} - 1}{ \sqrt{5} + 1} | = \\ = \frac{ \sqrt{65} - \sqrt{5} }{2} + \frac{1}{4} ln( \frac{( \sqrt{65} - 1)( \sqrt{5} + 1) }{( \sqrt{65} + 1)( \sqrt{5} - 1} )$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

anfisachupina85

26.04.2023 18:57

разбейте прямоугольник на три таких треугольника, чтобы площадь одного из них равнялась сумме площадей двух других...

tsisarmaria

19.08.2021 09:10

За перший день туристи пройшли 7\20 усієї відстані, за другий - 5\13 відстані, яку залишилося пройти. Чому дорівнює намічений шлях, якщо за другий день туристи пройшли 20,8...

marinasok23

22.10.2020 21:02

Мерзляк матем 6 класс номер 268с 6) по 12)...

nikita2024

30.09.2022 23:41

с одного участка собрали 800 кг помидоров а с другого в 2 раза больше в магазин отвезли 1/2 собранных помидоров сколько килограммов помидоров отвезли в магазин...

Пот43

19.11.2021 08:30

сократить дробь /8 x 9 x 3о/18×27×10 и найдите её значение: А.4/9. B.8×9×3/18×27 C.8×3/18×31 D.8×30/18×27...

khorolovgusenoy2lzx

16.09.2020 04:29

Ну короче никто не забирайте .. ...

Vikakotik5

16.09.2020 04:29

Тело под воздействием силы в 80 Н на отрезке пути в 20 м достигло скорости 10 м/с. Начальная скорость тела равна нулю. Найди массу данного тела. Масса тела равна кг (округли...

Настя190411

30.09.2022 23:41

Аквариум имеет форму прямоугольного параллепипеда,длина которого 35 см,ширина 30,а высота 25см...

cnastya970

31.01.2023 18:06

6. в первом бидоне было на 5 литров молока больше, чем во втором. когда из первого бидона перелили во второй 8 литров молока, во втором бидоне стало в 2 раза больше, чем...

annaznanijacom

31.01.2023 18:06

Запиши двухзначное число при умножение едениц которого на 6применяется равенство 2*6=12...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку