Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b, острый угол между диагоналями

Надо разложить векторы по координатным осям.

Пусть вектор p  направлен по оси Ох, вектор q под углом 30 градусов.

Получим координаты: p = (1; 0),  q = ((√3/2); (1/2)).

Переходим к векторам.

lp = (3*1 ; 3*0) = (3; 0).

mq = (4*(√3/2); 4*(1/2)) = ((2√3); 2).

a = lp + mq = (3 + (2√3); 2).

np = (4*1 ; 4*0) = (4; 0).

-kq = (-1*(√3/2); -1*(1/2)) = ((-√3/2);  (-1/2)).

b = np - kq = (4 - (√3/2); (-1/2)).

Большая диагональ параллелограмма d1 = a + b,

меньшая диагональ параллелограмма d2 = a - b,

d1 = a + b = (3 + (2√3); 2) + (4 - (√3/2); (-1/2)) =

   = (7 + ((3/2)√3); (3/2).

Длина (модуль) d1 = √(49  + 21√3  + (27/4) + (9/4)) = √(58 + 21√3) ≈ 9,715.

d2 = a - b = (3 + (2√3); 2) - (4 - (√3/2); (-1/2)) =

   = (-1 + ((5/2)√3); (5/2).

Длина (модуль) d2 = √(1  - 5√3  + (75/4) + (25/4)) = √(26 - 5√3) ≈ 4,164.

Находим угол между векторами.

Можно по скалярному произведение векторов.

Можно по разности углов наклона вектора к оси Ох.

a1 = arc tg(Δy/Δx) = arc tg(2.5/3,3301) = 0,644 радиан или

36,896 градуса.

a2 = arc tg(Δy/Δx) = arc tg(1.5/9,59808) = 0,155 радиан или

8,882  градуса.

Угол равен  36,896 - 8,882 = 28,014 градуса.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов или через две диагонали и синус угла между ними.

S =  (1/2)d1d2 sin γ = (1/2)*√(58 + 21√3) * √(26 - 5√3) * sin 28,014° =

  = 9.5 кв.ед.