1. Интегрируем первое слагаемое ∫3cos3x dx:
Вы знаете, что интеграл от cos(x) равен sin(x). Но у нас не просто cos(x), а cos(3x). Поэтому для интегрирования этого слагаемого мы введем замену переменной.
Пусть u = 3x, тогда dx = du/3. Заменим x и dx в интеграле на u и du/3:
∫3cos3x dx = ∫cos(u) * du/3
Теперь мы можем интегрировать ∫cos(u) du. Интеграл от cos(u) равен sin(u), поэтому:
∫cos(u) du = sin(u) + C.
Вернемся к переменной x:
∫3cos3x dx = ∫cos(u) * du/3 = sin(u)/3 + C.
Теперь заменим u обратно на 3x:
sin(u)/3 + C = sin(3x)/3 + C.
2. Интегрируем второе слагаемое ∫1/2sin(x/2) dx:
Здесь нет сложных функций, поэтому мы можем сразу интегрировать:
∫1/2sin(x/2) dx = -cos(x/2) + C2,
где C2 - константа интегрирования для второго слагаемого.
Теперь объединим результаты интегрирования обоих слагаемых:
∫(3cos3x + 1/2sinx/2)dx = ∫3cos3x dx + ∫1/2sinx/2 dx = sin(3x)/3 + (-cos(x/2)) + C + C2.
Поскольку мы интегрируем от pi/2 до 0, то необходимо вычислить значение этого выражения в пределах от pi/2 до 0 и найти разность этих значений:
(sin(3 * 0)/3 + (-cos(0/2)) + C + C2) - (sin(3 * pi/2)/3 + (-cos(pi/2/2)) + C + C2) =
(0/3 + (-1)) - (0/3 + 1) = -1 - 1 = -2.
2) Интеграл: ∫(3/(2√(3x+4)-x)) dx от -1 до 4
В данном интеграле важно обратить внимание на наличие корня и переменной в знаменателе. Давайте рассмотрим его подробнее.
Для начала, проведем замену переменных, чтобы сделать интегрирование более удобным.
Пусть u = 3x + 4, тогда x = (u - 4)/3. Заменим x и dx в интеграле на u и du:
∫(3/(2√(3x+4)-x)) dx = ∫(3/(2√u - (u-4)/3)) * (1/3) du = (1/3) * ∫(3/(2√u - (u-4)/3)) du.
Теперь рассмотрим выражение 2√u - (u-4)/3 в знаменателе. Приведем его к общему знаменателю:
2√u - (u-4)/3 = (6√u - (u-4)) / 3.
Имея это выражение, можем записать наш интеграл так:
(1/3) * ∫(3/(6√u - (u-4))) du = (1/3) * ∫(3/(5√u + 4)) du.
Если вы аналитически не можете проинтегрировать это выражение, можно воспользоваться таблицей интегралов или использовать метод численного интегрирования.
Когда вы получите значение интеграла, вычислив его на пределах от -1 до 4, у вас будет окончательный ответ для этого вопроса. Для расчетов удобно использовать калькулятор или специализированный математический программный пакет.
1) Интеграл: ∫(3cos3x + 1/2sinx/2)dx от pi/2 до 0
Для начала, предлагаю провести раскрытие скобок. У нас есть два слагаемых внутри интеграла: 3cos3x и 1/2sinx/2.
∫(3cos3x + 1/2sinx/2)dx = ∫3cos3x dx + ∫1/2sinx/2 dx
1. Интегрируем первое слагаемое ∫3cos3x dx:
Вы знаете, что интеграл от cos(x) равен sin(x). Но у нас не просто cos(x), а cos(3x). Поэтому для интегрирования этого слагаемого мы введем замену переменной.
Пусть u = 3x, тогда dx = du/3. Заменим x и dx в интеграле на u и du/3:
∫3cos3x dx = ∫cos(u) * du/3
Теперь мы можем интегрировать ∫cos(u) du. Интеграл от cos(u) равен sin(u), поэтому:
∫cos(u) du = sin(u) + C.
Вернемся к переменной x:
∫3cos3x dx = ∫cos(u) * du/3 = sin(u)/3 + C.
Теперь заменим u обратно на 3x:
sin(u)/3 + C = sin(3x)/3 + C.
2. Интегрируем второе слагаемое ∫1/2sin(x/2) dx:
Здесь нет сложных функций, поэтому мы можем сразу интегрировать:
∫1/2sin(x/2) dx = -cos(x/2) + C2,
где C2 - константа интегрирования для второго слагаемого.
Теперь объединим результаты интегрирования обоих слагаемых:
∫(3cos3x + 1/2sinx/2)dx = ∫3cos3x dx + ∫1/2sinx/2 dx = sin(3x)/3 + (-cos(x/2)) + C + C2.
Поскольку мы интегрируем от pi/2 до 0, то необходимо вычислить значение этого выражения в пределах от pi/2 до 0 и найти разность этих значений:
(sin(3 * 0)/3 + (-cos(0/2)) + C + C2) - (sin(3 * pi/2)/3 + (-cos(pi/2/2)) + C + C2) =
(0/3 + (-1)) - (0/3 + 1) = -1 - 1 = -2.
2) Интеграл: ∫(3/(2√(3x+4)-x)) dx от -1 до 4
В данном интеграле важно обратить внимание на наличие корня и переменной в знаменателе. Давайте рассмотрим его подробнее.
Для начала, проведем замену переменных, чтобы сделать интегрирование более удобным.
Пусть u = 3x + 4, тогда x = (u - 4)/3. Заменим x и dx в интеграле на u и du:
∫(3/(2√(3x+4)-x)) dx = ∫(3/(2√u - (u-4)/3)) * (1/3) du = (1/3) * ∫(3/(2√u - (u-4)/3)) du.
Теперь рассмотрим выражение 2√u - (u-4)/3 в знаменателе. Приведем его к общему знаменателю:
2√u - (u-4)/3 = (6√u - (u-4)) / 3.
Имея это выражение, можем записать наш интеграл так:
(1/3) * ∫(3/(6√u - (u-4))) du = (1/3) * ∫(3/(5√u + 4)) du.
Если вы аналитически не можете проинтегрировать это выражение, можно воспользоваться таблицей интегралов или использовать метод численного интегрирования.
Когда вы получите значение интеграла, вычислив его на пределах от -1 до 4, у вас будет окончательный ответ для этого вопроса. Для расчетов удобно использовать калькулятор или специализированный математический программный пакет.