Для начала, давайте разберемся с выражением внутри интеграла: 2dx/sin^2(x). Для удобства, обозначим это выражение как f(x).
Задача состоит в вычислении интеграла от f(x) по переменной x на интервале от 0 до pi/24. Для этого воспользуемся определением интеграла и применим метод замены переменной.
1. Замена переменной:
Для удобства интегрирования, заменим x на t, где t = sin(x). Тогда dx = cos(x) dt.
Когда x = 0, t = sin(0) = 0.
Когда x = pi/24, t = sin(pi/24).
2. Подстановка в выражение f(x):
Подставим новые значения переменных в выражение f(x):
f(t) = 2dt/cos^2(x) = 2dt/(1 - sin^2(x)).
Так как t = sin(x), то можно переписать это как:
f(t) = 2dt/(1 - t^2).
3. Интеграл:
Теперь мы имеем интеграл от f(t) по переменной t на интервале от 0 до sin(pi/24), тогда:
∫(pi/24)0 f(t) dt = ∫sin(pi/24)0 (2dt/(1 - t^2)).
4. Вынесем константу за знак интеграла и разложим дробь на простые дроби:
∫sin(pi/24)0 (2dt/(1 - t^2)) = 2∫sin(pi/24)0 dt/(1 - t)(1 + t).
5. Разложение на простые дроби:
(1 - t)(1 + t) = 1 - t^2, поэтому можем представить дробь в виде суммы двух простых дробей:
2/(1 - t)(1 + t) = A/(1 - t) + B/(1 + t).
6. Найдем значения A и B:
Для этого приведем правую часть к общему знаменателю и сверим коэффициенты при одинаковых степенях t:
2 = A(1 + t) + B(1 - t).
Задача состоит в вычислении интеграла от f(x) по переменной x на интервале от 0 до pi/24. Для этого воспользуемся определением интеграла и применим метод замены переменной.
1. Замена переменной:
Для удобства интегрирования, заменим x на t, где t = sin(x). Тогда dx = cos(x) dt.
Когда x = 0, t = sin(0) = 0.
Когда x = pi/24, t = sin(pi/24).
2. Подстановка в выражение f(x):
Подставим новые значения переменных в выражение f(x):
f(t) = 2dt/cos^2(x) = 2dt/(1 - sin^2(x)).
Так как t = sin(x), то можно переписать это как:
f(t) = 2dt/(1 - t^2).
3. Интеграл:
Теперь мы имеем интеграл от f(t) по переменной t на интервале от 0 до sin(pi/24), тогда:
∫(pi/24)0 f(t) dt = ∫sin(pi/24)0 (2dt/(1 - t^2)).
4. Вынесем константу за знак интеграла и разложим дробь на простые дроби:
∫sin(pi/24)0 (2dt/(1 - t^2)) = 2∫sin(pi/24)0 dt/(1 - t)(1 + t).
5. Разложение на простые дроби:
(1 - t)(1 + t) = 1 - t^2, поэтому можем представить дробь в виде суммы двух простых дробей:
2/(1 - t)(1 + t) = A/(1 - t) + B/(1 + t).
6. Найдем значения A и B:
Для этого приведем правую часть к общему знаменателю и сверим коэффициенты при одинаковых степенях t:
2 = A(1 + t) + B(1 - t).
Подставим t = -1:
2 = A(1 - 1) + B(1 + 1) => 2 = 2B => B = 1.
Подставим t = 1:
2 = A(1 + 1) + B(1 - 1) => 2 = 2A => A = 1.
Таким образом, A = 1 и B = 1.
7. Подставим найденные значения A и B:
2/(1 - t)(1 + t) = 1/(1 - t) + 1/(1 + t).
8. Перепишем интеграл с использованием найденных коэффициентов:
∫sin(pi/24)0 (2dt/(1 - t^2)) = ∫sin(pi/24)0 (1/(1 - t) + 1/(1 + t)) dt.
9. Разложим интеграл на два отдельных интеграла:
∫sin(pi/24)0 (1/(1 - t) + 1/(1 + t)) dt = ∫sin(pi/24)0 (1/(1 - t)) dt + ∫sin(pi/24)0 (1/(1 + t)) dt.
10. Перейдем к интегрированию:
∫sin(pi/24)0 (1/(1 - t)) dt = ln|1 - t|∣sin(pi/24)0 = ln|1 - sin(pi/24)| - ln|1 - 0| = ln|1 - sin(pi/24)|.
∫sin(pi/24)0 (1/(1 + t)) dt = ln|1 + t|∣sin(pi/24)0 = ln|1 + sin(pi/24)| - ln|1 + 0| = ln|1 + sin(pi/24)|.
11. Общее решение:
∫sin(pi/24)0 (2dt/(1 - t^2)) = ln|1 - sin(pi/24)| + ln|1 + sin(pi/24)|.
Таким образом, значение данного интеграла равно ln|1 - sin(pi/24)| + ln|1 + sin(pi/24)|.