Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

Показать ответ

Ответ:

Olga5513

01.07.2021 23:13

$2 \ln 8 - 4 + \pi.$

Пошаговое объяснение:

Для вычисления интеграла $\int_0^2 \ln (x^2 + 4)\ \text d x$ воспользуемся сначала методом интегрирования по частям:

$u = \ln (x^2 + 4);\ \text d v = \text d x;\\\text d u = \frac{2x}{x^2 + 4}.\ \ \ \ \ \,\,\: x = \int \text d x = x.$

$\int_0^2 \ln (x^2 + 4)\ \text d x = \left \left( x \ln (x^2 + 4) \right) \right | \limits_0^2 - \int_0^2 \frac{2x^2}{x^2+4}\ \text d x.$

Заметим, что x^2 + 4 = x^2 + 2^2 , и тогда в интеграле после интегрирования по частям напрашивается такая замена:

Если $\frac{\text d x}{x^2 + 2^2} = \text d \left( \frac 12 \text{arctg}\, \frac x2 \right)$ , то, положив $y = \frac 12 \text{arctg}\, \frac x2$ , найдём, что:

$y = \frac 12\, \text{arctg}\, \frac x 2;\\2y = \text{arctg} \frac x 2;\\\text{tg}\, 2y = \frac x 2;\\x = 2\,\text{tg}\, 2y.$

Применим это всё при вычислении получившегося интеграла.

Пределы интегрирования изменятся так:

$a = \frac 12\, \text{tg}\, \frac 0 2 = \frac 12\, \text{tg}\, 0 = 0 \cdot \frac 12 = 0.$

$b = \frac 12\, \text{tg} \frac 2 2 = \frac 12\, \text{tg} \, 1 = \frac 12 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.$

Вычислим теперь сам интеграл:

$\int_0^\frac\pi 8 2 \left( 2\, \text{tg}\, 2y \right)^2 \text d y = 8 \int_0^\frac \pi 8 \, \text{tg}^2\, 2y\, \text d y.$

Введём замену: $t = 2y;\ \text d t = 2\, \text d y;\ \Rightarrow\ \text d y = \frac 12\, \text d t.$

Пределы интегрирования изменятся так:

$a = 2 \cdot 0 = 0;\\b = 2 \cdot \frac \pi 8 = \frac \pi 4.$

Продолжим вычисление интеграла:

$4 \int _0^\frac \pi 4\, \text{tg}^2 \, t\, \text d t = 4 \int_0^\frac\pi4 \frac{\sin^2t}{\cos^2t}\, \text d t = 4 \int_0^\frac\pi4 \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} \text d t= 4 \left( \int_0^\frac\pi 4 \frac{\text d t}{\cos^2 t} - \int_0^\frac\pi4\text d t \right) =\\= 4 \left( \text{tg}\, t |_0^\frac\pi4 - t|_0^\frac\pi4 \right) = 4 \left( \text{tg}\, \frac\pi 4 - \text{tg}\, 0 - \frac\pi 4 + 0 \right) = 4 - \pi.$

Подставим найденное значение в выражение после интегрирования по частям и найдём итоговый результат:

$2\ln(2^2 + 4) - 0 \ln (0^2 + 4) - (4 - \pi) = 2 \ln 8 - 4 + \pi.$

Наконец, получаем, что $\int _0^2 \ln (x^2 + 4)\, \text d x = 2 \ln 8 - 4 + \pi.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

marynochka10092

24.05.2022 14:59

Уалёши было 23 тренировки за месяц,на каждой тренировки он19 раз отжимался и делал 24 присядания.сколько он выполнел за месяц...

Voprosik4695

24.05.2022 14:59

Портниха для пошива 8 рубашек и нескольких платьев купила 51 м. ткани. на пошив одной рубашки она израсходовала 2 метра ткани, а на пошив одного платья не меньше...

Polinakovta

24.05.2022 14:59

Решить уравнение 5-2х=8+4(2+х) 5(х+2)(х-1)=4+х...

erik0701

24.05.2022 14:59

От деревни никольское до города 24 км. дорога лесом составляет 5|12 пути,а остольная часть проходит полем .сколько километров дороги проходит полем ? внимание: напишите...

Nastyavoyko

24.05.2022 14:59

Витя купил для работы с книгами 4 тетради по х рублей и 7 блокнотов по у рублей. сколько рублей стоила покупка?...

yarroslawfd

24.05.2022 14:59

Вклассной библиотеке было a книг. витя и костя выдали 30 ученикам по b книг.сколько книг осталось в классной библиотеке?...

17834567

24.05.2022 14:59

Сколько целых чисел расположено между числами -26 и -105 ?...

kristinka200000005

11.07.2021 06:52

12 р. составляют 3 имеющейся суммы денег.какова эта 4 сумма?...

Joshler0canon

11.07.2021 06:52

Бронза, из которой делают статуи, состоит из меди, и цинка и олова. масса меди составляет 85 % массы всего сплава, а масса цинка равна 2/17 массы меди. остальная...

sheykinayulya

11.07.2021 06:52

Катя решила купить машину.папа пообещал кате,что даст ей 1/3 часть денег от стоимости машины,дедушка,сказал что даст 20% от стоимости машины,к тому же у кати есть...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку