Добрый день! Рад представиться вам в роли вашего школьного учителя и объяснить, как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 3.
Для начала, давайте визуализируем данные линии на графике.
На оси x у нас будет значением от -5 до 5, а на оси y от -5 до 5.
Линия y = -x^2 + 4 состоит из кривой параболы. Когда x = 0, y будет равно 4. Если мы увеличиваем значения x, y будет уменьшаться, так как -x^2 даёт отрицательные значения при увеличении x.
Линия y = 3 будет горизонтальная линия, параллельная оси x, на одной высоте y = 3.
Теперь, чтобы найти точки пересечения этих двух линий, мы приравниваем уравнения и решаем уравнение:
-x^2 + 4 = 3
Перепишем уравнение:
-x^2 = -1
Для удобства, домножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:
x^2 = 1
Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, так как ищем значения x:
x = ±1
То есть, точки пересечения линий находятся в (1, 3) и (-1, 3).
Теперь, нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями.
В данном случае, фигура будет иметь форму параболы, ограниченной горизонтальной линией. Площадь можно найти при помощи интеграции.
Сначала нам нужно найти точки, где парабола пересекает горизонтальную линию y = 3. Мы это уже сделали выше и получили точки (1, 3) и (-1, 3).
Теперь, чтобы вычислить площадь, мы будем интегрировать функцию параболы между этими точками.
Площадь фигуры равна интегралу функции параболы на отрезке между -1 и 1.
Итак, площадь S будет равна:
S = ∫[-1, 1] (-x^2 + 4) dx
Давайте проинтегрируем это выражение:
S = [-x^3/3 + 4x] [-1, 1]
Сначала подставим верхний предел интегрирования, то есть подставим x = 1:
S = (-(1)^3/3 + 4(1))
S = (-1/3 + 4)
S = 13/3
Теперь подставим нижний предел интегрирования, то есть подставим x = -1:
S = (-(1)^3/3 + 4(1)) - (-( -1)^3/3 + 4(-1))
S = (-1/3 + 4) - (-1/3 - 4)
S = 13/3 - (-13/3)
S = 26/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 3, равна 26/3.
Надеюсь, я смог вам помочь и ответить на ваш вопрос. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
Для начала, давайте визуализируем данные линии на графике.
На оси x у нас будет значением от -5 до 5, а на оси y от -5 до 5.
Линия y = -x^2 + 4 состоит из кривой параболы. Когда x = 0, y будет равно 4. Если мы увеличиваем значения x, y будет уменьшаться, так как -x^2 даёт отрицательные значения при увеличении x.
Линия y = 3 будет горизонтальная линия, параллельная оси x, на одной высоте y = 3.
Теперь, чтобы найти точки пересечения этих двух линий, мы приравниваем уравнения и решаем уравнение:
-x^2 + 4 = 3
Перепишем уравнение:
-x^2 = -1
Для удобства, домножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:
x^2 = 1
Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, так как ищем значения x:
x = ±1
То есть, точки пересечения линий находятся в (1, 3) и (-1, 3).
Теперь, нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями.
В данном случае, фигура будет иметь форму параболы, ограниченной горизонтальной линией. Площадь можно найти при помощи интеграции.
Сначала нам нужно найти точки, где парабола пересекает горизонтальную линию y = 3. Мы это уже сделали выше и получили точки (1, 3) и (-1, 3).
Теперь, чтобы вычислить площадь, мы будем интегрировать функцию параболы между этими точками.
Площадь фигуры равна интегралу функции параболы на отрезке между -1 и 1.
Итак, площадь S будет равна:
S = ∫[-1, 1] (-x^2 + 4) dx
Давайте проинтегрируем это выражение:
S = [-x^3/3 + 4x] [-1, 1]
Сначала подставим верхний предел интегрирования, то есть подставим x = 1:
S = (-(1)^3/3 + 4(1))
S = (-1/3 + 4)
S = 13/3
Теперь подставим нижний предел интегрирования, то есть подставим x = -1:
S = (-(1)^3/3 + 4(1)) - (-( -1)^3/3 + 4(-1))
S = (-1/3 + 4) - (-1/3 - 4)
S = 13/3 - (-13/3)
S = 26/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 3, равна 26/3.
Надеюсь, я смог вам помочь и ответить на ваш вопрос. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!