Для начала нам нужно вычислить векторное произведение векторов a и b. Векторное произведение двух векторов задается формулой:
(a^b) = |a| * |b| * sin(theta) * n,
где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, theta - угол между векторами a и b, а n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами a и b.
В нашем случае длины векторов |a| и |b| уже известны: |a| = |6p - q| = √(|6p|^2 + |-q|^2) = √((6 * 3)^2 + 4^2) = √(108 + 16) = √124 = 2√31, и |b| = |p + q| = √(|p|^2 + |q|^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Теперь нам нужно вычислить угол theta между векторами a и b. Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
a * b = |a| * |b| * cos(theta).
Заметим, что скалярное произведение векторов a и b равно a * b = (6p - q) * (p + q) = 6p * p + 6p * q - q * p - q * q = 6|p|^2 - |q|^2, где |p|^2 = p * p и |q|^2 = q * q.
Таким образом, у нас получается следующее уравнение:
(a^b) = |a| * |b| * sin(theta) * n,
где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, theta - угол между векторами a и b, а n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами a и b.
В нашем случае длины векторов |a| и |b| уже известны: |a| = |6p - q| = √(|6p|^2 + |-q|^2) = √((6 * 3)^2 + 4^2) = √(108 + 16) = √124 = 2√31, и |b| = |p + q| = √(|p|^2 + |q|^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Теперь нам нужно вычислить угол theta между векторами a и b. Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
a * b = |a| * |b| * cos(theta).
Заметим, что скалярное произведение векторов a и b равно a * b = (6p - q) * (p + q) = 6p * p + 6p * q - q * p - q * q = 6|p|^2 - |q|^2, где |p|^2 = p * p и |q|^2 = q * q.
Таким образом, у нас получается следующее уравнение:
6|p|^2 - |q|^2 = |a| * |b| * cos(theta),
6 * 3^2 - 4^2 = 2√31 * 5 * cos(theta),
54 - 16 = 10√31 * cos(theta),
38 = 10√31 * cos(theta).
Отсюда получаем:
cos(theta) = 38 / (10√31) = 19 / (5√31) = (19 * √31) / 155.
Теперь мы можем найти синус угла theta с помощью следующего тождества:
sin^2(theta) = 1 - cos^2(theta).
Тогда sin(theta) = √(1 - cos^2(theta)) = √(1 - [(19 * √31) / 155]^2).
Теперь мы можем вычислить векторное произведение векторов a и b:
(a^b) = |a| * |b| * sin(theta) * n,
где n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами a и b.
Примем n = k * (p^q), где k - любое ненулевое число.
Тогда, (a^b) = 2√31 * 5 * √(1 - [(19 * √31) / 155]^2) * (p^q).
Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения a и b:
Площадь = |(a^b)| = |2√31 * 5 * √(1 - [(19 * √31) / 155]^2) * (p^q)|.
Таким образом, площадь параллелограмма равна 10 * √31 * √(1 - [(19 * √31) / 155]^2) * (p^q).