Для вычисления данного выражения, воспользуемся свойствами арктангенса, арккосинуса и арккотангенса.
1. Начнем с вычисления arctg(-√3/3).
Прежде всего, найдем значение арктангенса для данного аргумента.
arctg(x) = θ <=> tg(θ) = x
В данном случае x = -√3/3, поэтому нас интересует значение функции тангенса для этого значения.
Если рассмотреть треугольник со сторонами -√3, 1 и 2, в котором α - это угол при противолежащем катете -√3 и гипотенузе 2, то получим следующее:
tg(α) = -√3/1 = -√3
Таким образом, получаем, что arctg(-√3/3) = α. А это значит, что α - это угол, для которого tg(α) = -√3.
2. Переходим к вычислению arccos(0).
Так как cos(0) = 1, то значит, arccos(0) = β, где β - это угол, для которого cos(β) = 0.
В данном случае cos(β) = 0, если β = π/2.
3. Вычисляем arcctg(√3).
Для нахождения значения arcctg(√3) воспользуемся свойством арккотангенса.
arcctg(x) = γ <=> ctg(γ) = x.
Так как ctg(x) = 1/tg(x), то ctg(γ) = 1/tg(γ) = 1/√3.
Найдем угол γ, для которого ctg(γ) = 1/√3.
Рассмотрим треугольник со сторонами 1, √3 и 2, в котором γ - угол при противолежащем катете 1 и гипотенузе 2.
Из этого треугольника следует, что ctg(γ) = 1/√3.
Таким образом, arcctg(√3) = γ, где γ - угол, для которого ctg(γ) = 1/√3.
Теперь, когда мы нашли значения всех аргументов в выражении, подставим их и вычислим его:
1. Начнем с вычисления arctg(-√3/3).
Прежде всего, найдем значение арктангенса для данного аргумента.
arctg(x) = θ <=> tg(θ) = x
В данном случае x = -√3/3, поэтому нас интересует значение функции тангенса для этого значения.
Если рассмотреть треугольник со сторонами -√3, 1 и 2, в котором α - это угол при противолежащем катете -√3 и гипотенузе 2, то получим следующее:
tg(α) = -√3/1 = -√3
Таким образом, получаем, что arctg(-√3/3) = α. А это значит, что α - это угол, для которого tg(α) = -√3.
2. Переходим к вычислению arccos(0).
Так как cos(0) = 1, то значит, arccos(0) = β, где β - это угол, для которого cos(β) = 0.
В данном случае cos(β) = 0, если β = π/2.
3. Вычисляем arcctg(√3).
Для нахождения значения arcctg(√3) воспользуемся свойством арккотангенса.
arcctg(x) = γ <=> ctg(γ) = x.
Так как ctg(x) = 1/tg(x), то ctg(γ) = 1/tg(γ) = 1/√3.
Найдем угол γ, для которого ctg(γ) = 1/√3.
Рассмотрим треугольник со сторонами 1, √3 и 2, в котором γ - угол при противолежащем катете 1 и гипотенузе 2.
Из этого треугольника следует, что ctg(γ) = 1/√3.
Таким образом, arcctg(√3) = γ, где γ - угол, для которого ctg(γ) = 1/√3.
Теперь, когда мы нашли значения всех аргументов в выражении, подставим их и вычислим его:
2arctg(-√3/3) + arccos(0) - arcctg(√3) = 2α + β - γ.
Из наших вычислений имеем:
α = arctg(-√3/3), β = arccos(0), γ = arcctg(√3).
Тогда:
2arctg(-√3/3) + arccos(0) - arcctg(√3) = 2α + β - γ = 2α + π/2 - γ.
Осталось только подставить найденные значения углов:
2arctg(-√3/3) + arccos(0) - arcctg(√3) = 2α + π/2 - γ = 2(α) + π/2 - (γ).
Это окончательный ответ на задачу.