1) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. А(4;-6), В(6;4√6)
2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.
a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы. Они уже найдены: a² = 4, а = +-2 b² = 3*4. b = +-2√3. c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4. Координаты фокусов: F₁(-4;0), F₂(4;0). Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы. Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2 Асимптоты y = +-(b / a). y₁ = (2√3) / 2 = √3 y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.
3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы. Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности. ответ: х = +-√7 у = +-3.
4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).
S=y^2 y - сторона квадрата (сквер имеет форму квадрата) Формула площади квадрата = произведению(добутку) его сторон. То есть y* y = y^2 Нехай х = кількість стовпів, тоді х > 4(оскільки в кожному кутку стоїть фонар за умовою) Ми можемо скласти рівняння : 4х+5=5х-7 4х-5х=-7-5 -х=-12/*(-1) Х=12 - кількість стовпів Між усіма фонарями відстань однакова - 10 м, тобто по кожній стороні сквера розташована рівна кількість фонарів - по 4(тому що сквер має форму квадрата) Оскільки відстань між ними 10 м, то довжина однієї сторони сквера = 30 м S=30м*30м=900м^2
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
Подставим координаты известных точек:
Приводим к общему знаменателю и получаем систему:
{16b² - 36a² = a²b²,
{36b² - 96a² = a²b².
Отсюда 16b² - 36a² = 36b² - 96a²
60a² = 20b²
b² = 3a².
Заменим b² в уравнении гиперболы:
a² = 4,
b² = 3*4 = 12.
ответ:
2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.
a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы.
Они уже найдены: a² = 4, а = +-2
b² = 3*4. b = +-2√3.
c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4.
Координаты фокусов:
F₁(-4;0), F₂(4;0).
Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.
Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2
Асимптоты y = +-(b / a).
y₁ = (2√3) / 2 = √3
y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.
3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности.
ответ: х = +-√7
у = +-3.
4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).
y - сторона квадрата (сквер имеет форму квадрата)
Формула площади квадрата = произведению(добутку) его сторон. То есть y* y = y^2
Нехай х = кількість стовпів, тоді х > 4(оскільки в кожному кутку стоїть фонар за умовою)
Ми можемо скласти рівняння :
4х+5=5х-7
4х-5х=-7-5
-х=-12/*(-1)
Х=12 - кількість стовпів
Між усіма фонарями відстань однакова - 10 м, тобто по кожній стороні сквера розташована рівна кількість фонарів - по 4(тому що сквер має форму квадрата)
Оскільки відстань між ними 10 м, то довжина однієї сторони сквера = 30 м
S=30м*30м=900м^2