Выражение: 1) sin^2x - tg2a ctg2a;
2) sin^2 4a + tg2 фи + cos^2 4a;
3) tg 3 ctg 3 + ctg^2x;
4) 7 - 4sin^2b;
5) cos фи ctg фи sin фи - 1;
6) (1/cos a + tg a ) ( 1/cos a - tg a ); 7) 1/cos^2 2t - tg^2 2t;
8) 1/sin^2 3x - ctg^2 3x - sin^2 a;
9) 1 - 1/sin^2 2x
- sin^2x можно переписать как 1 - cos^2x, используя тождество Pythagorean для синуса.
- tg^2a можно переписать как sin^2a/cos^2a, используя определение тангенса.
- ctg^2a можно переписать как cos^2a/sin^2a, используя определение котангенса.
Подставим эти переписанные значения в выражение: 1 - cos^2x - (sin^2a/cos^2a)(cos^2a/sin^2a).
Далее упростим:
1 - cos^2x - (sin^2a * cos^2a)/(cos^2a * sin^2a).
Замечаем, что некоторые части в числителе и знаменателе сокращаются:
1 - cos^2x - 1.
Окончательно получаем: -cos^2x.
2) Рассмотрим выражение sin^2 4a + tg2фи + cos^2 4a:
- sin^2 4a + cos^2 4a равно 1, используя тождество Pythagorean для синуса и косинуса.
- tg2фи можно переписать как 2sinфи/cosфи, используя определение тангенса.
Подставим эти переписанные значения в выражение: 1 + 2sinфи/cosфи.
Далее упростим:
1 + 2sinфи/cosфи.
Для того, чтобы объединить дробь в одну, умножим и поделим на sinфи:
(1 * sinфи/sinфи) + (2sin^2фи/(cosфи * sinфи)).
Теперь можно объединить дроби:
(sinфи + 2sin^2фи)/(cosфи * sinфи).
3) Рассмотрим выражение tg 3 ctg 3 + ctg^2x:
- tg3 можно переписать как sin3/cos3, используя определение тангенса.
- ctg3 можно переписать как cos3/sin3, используя определение котангенса.
Подставим эти переписанные значения в выражение: (sin3/cos3)(cos3/sin3) + cos^2x/sin^2x.
Теперь упростим:
1 + cos^2x/sin^2x.
4) Рассмотрим выражение 7 - 4sin^2b:
- sin^2b можно переписать как 1 - cos^2b, используя тождество Pythagorean для синуса.
Подставим это переписанное значение в выражение: 7 - 4(1 - cos^2b).
Далее упростим:
7 - 4 + 4cos^2b.
Таким образом, получаем: 4cos^2b + 3.
5) Рассмотрим выражение cosфи ctgфи sinфи - 1:
- ctgфи можно переписать как cosфи/sinфи, используя определение котангенса.
Подставим это переписанное значение в выражение: cosфи(cosфи/sinфи)sinфи - 1.
Теперь упростим:
cosфи * cosфи - 1.
Окончательно получаем: cos^2фи - 1.
6) Рассмотрим выражение (1/cos a + tg a)(1/cos a - tg a):
Используем формулу (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 для выражения (1/cos a + tg a)(1/cos a - tg a):
(1/cos a)^2 - (tg a)^2.
Далее упростим:
1/cos^2a - tg^2a.
7) Рассмотрим выражение 1/cos^2 2t - tg^2 2t:
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой cos^2 x + sin^2 x = 1, которую можно переписать как cos^2 x = 1 - sin^2 x.
Подставим это переписанное значение в выражение: 1/(1 - sin^2 2t) - sin^2 2t.
Далее упростим:
1/(1 - sin^2 2t) - sin^2 2t/(1 - sin^2 2t).
Раскроем скобки во втором слагаемом и объединим дроби:
1/(1 - sin^2 2t) - sin^2 2t + sin^4 2t/(1 - sin^2 2t).
Для объединения дробей раскроем скобки в первом слагаемом:
1/(1 - sin^2 2t) - sin^2 2t(1/(1 - sin^2 2t) - 1).
Проделаем нужные вычисления:
1/(1 - sin^2 2t) - sin^2 2t/(1 - sin^2 2t) + sin^2 2t.
Объединим дроби и упростим:
1/(1 - sin^2 2t) + sin^2 2t/(1 - sin^2 2t).
Получаем: (1 + sin^2 2t)/(1 - sin^2 2t).
Используя тождество Pythagorean, мы знаем, что 1 + sin^2 x равно cos^2 x:
cos^2 2t/(1 - sin^2 2t).
8) Рассмотрим выражение 1/sin^2 3x - ctg^2 3x - sin^2 a:
- ctg3x можно переписать как cos3x/sin3x, используя определение котангенса.
Подставим это переписанное значение в выражение: 1/sin^2 3x - (cos3x/sin3x)^2 - sin^2 a.
Упростим:
1/sin^2 3x - cos^2 3x/sin^2 3x - sin^2 a.
Объединим дроби и упростим:
(1 - cos^2 3x - sin^2 a)/(sin^2 3x).
9) Рассмотрим выражение 1 - 1/sin^2 2x:
Используя определение косеканса, знаем, что csc^2 x = 1/sin^2 x.
Подставим это переписанное значение в выражение: 1 - csc^2 2x.
Упростим:
- csc^2 2x + 1.
Окончательный ответ: 1 - csc^2 2x.