Войти Регистрация Спроси ai-bota

Выразить $\sin^5(\varphi)$ и $\cos^5(\varphi)$ через первые степени синусов и косинусов аргументов, кртаных $\varphi$

Показать ответ

Ответ:

katttty9989

23.08.2020 12:11

Будем использовать формулу Эйлера:

$\sin \varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i};~~~ \cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$

И по формуле бинома Ньютона

$(a+ b)^5=a^5+5a^4b+10b^2a^3+10b^3a^2+5b^4a+b^5\\ (a-b)^5=a^5-5a^4b+10b^2a^3-10b^3a^2+5b^4a-b^5$

$\sin^5\varphi=\left(\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\right)^5=\dfrac{1}{32i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})^5=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-5e^{4i\varphi}e^{-i\varphi}+\\ \\ \\+10e^{-2i\varphi}e^{3i\varphi}-10e^{-3i\varphi}e^{2i\varphi}+5e^{-4i\varphi}e^{i\varphi}-e^{-5i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}-5e^{3i\varphi}+5e^{-3i\varphi}+10e^{i\varphi}-10e^{-i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\underbrace{\dfrac{e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}}{2i}}_{\sin 5\varphi}-5\cdot \underbrace{\dfrac{e^{3i\varphi}-e^{-3i\varphi}}{2i}}_{\sin 3\varphi}+10\cdot \underbrace{\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}}_{\sin \varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\sin5\varphi-5\sin3\varphi+10\sin\varphi\Big)$

Аналогично для $\cos^5\varphi$ также делается как и с синусом.

$\cos^5\varphi=\dfrac{1}{16}\Big(\cos5\varphi+5\cos3\varphi+10\cos \varphi\Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

olgakoryakina

01.05.2021 13:38

Составь задачи по таблице и реши её 5см ?дм 3м...

AlifZnanija

14.01.2020 10:38

-2x + 3y = 11 3x + 2y = 3 РЕШИТЬ СЛОЖЕНИЯ!! ....

ks441934

26.04.2022 12:50

Яка точка симетрична точці М(-5;1) відносно О(0;0)...

Cheather

14.06.2022 20:56

Стороны прямокутного трикутника 5см.12см.13см. Знайдить його площу....

ks1mak1703F

03.12.2021 09:34

До свята Нового Року їжачок приніс до Маші та Мішки 1,5 кг апельсинів. всіх апельсинів з їла Маша, - з їв Мішка, решту апельсинів Маша віддала їжачку. Скільки грам апельсинів з їв...

LOLLLAada

25.10.2022 16:33

1) -40÷(-5) 2) -1,8÷1,83) -48,72÷1,24) 0÷(-0,6)5) -144÷46) (-10,64)÷(-1,4)дайте ответ до 6 клас математика ...

Элечка195

22.09.2020 16:19

Загадки мирозданию Афонин из другого мира укажи фрагмент текста в котором допущена лексическая ошибка фрагмент 1 фрагмент 2 или фрагмент . Я бы прикрепила фото но не знаю как....

sergey1234567891011

24.08.2022 11:55

1/3(3x-6)-2/7(7x-21) Упростите и решите...

margo344

26.03.2023 05:21

Напиши чему равны углы, изображенные на рисунке я ошибся ...

nikputen

29.05.2022 12:56

ГЕОМЕТРИЯ! ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку