((|X|+3)/(|2X|+2))2=((|X|-6)/(|X|-4))2 решить уравнение

x1 = (-11 - √409)/6; x2 = (11 + √409)/6

x3 = -9; x4 = 0; x5 = 9

Пошаговое объяснение:

Я степени обозначу ^2, как здесь принято, и внешние скобки поставлю квадратные, чтобы отличать от круглых и не путаться.

Заметим сразу, что |2x| = 2|x|. От умножения на 2 знак не меняется.

[ (|x|+3) / (2|x|+2) ]^2 = [ (|x|-6) / (|x|-4) ]^2

Здесь возможно два случая.

Первый случай. Выражения под квадратами противоположны.

(|x|+3) / (2|x|+2) = -(|x|-6) / (|x-4)

По правилу пропорции:

(|x| + 3)(|x| - 4) = -(2|x| + 2)(|x| - 6)

Здесь тоже возможны два случая.

1) x < 0; |x| = -x

(-x + 3)(-x - 4) = -(-2x + 2)(-x - 6)

-(3 - x)(x + 4) = (2 - 2x)(x + 6)

-3x + x^2 - 12 + 4x = 2x - 2x^2 + 12 - 12x

3x^2 + 11x - 24 = 0

D = 11^2 - 4*3(-24) = 121 + 288 = 409

x1 = (-11 - √409)/6 < 0 - подходит.

x2 = (-11 + √409)/6 > 0 - не подходит.

Решение: x1 = (-11 - √409)/6

2) x ≥ 0; |x| = x

(x + 3)(x - 4) = -(2x + 2)(x - 6)

x^2 + 3x - 4x - 12 = -2x^2 - 2x + 12x + 12

3x^2 - 11x - 24 = 0

D = (-11)^2 - 4*3(-24) = 121 + 288 = 409

x3 = (11 - √409)/6 < 0 - не подходит.

x4 = (11 + √409)/6 > 0 - подходит.

Решение: x2 = (11 + √409)/6

Второй случай. Выражения под квадратами равны.

(|x| + 3) / (2|x| + 2) = (|x| - 6) / (|x| - 4)

(|x| + 3)(|x| - 4) = (2|x| + 2)(|x| - 6)

Здесь опять возможны два случая.

1) x < 0; |x| = -x

(-x + 3)(-x - 4) = (-2x + 2)(-x - 6)

-(3 - x)(x + 4) = -(2 - 2x)(x + 6)

(3 - x)(x + 4) = (2 - 2x)(x + 6)

3x - x^2 + 12 - 4x = 2x - 2x^2 + 12 - 12x

x^2 + 9x = 0

x5 = -9 < 0 - подходит.

x6 = 0 - не подходит.

Решение: x3 = -9

2) x ≥ 0; |x| = x

(x + 3)(x - 4) = (2x + 2)(x - 6)

x^2 + 3x - 4x - 12 = 2x^2 + 2x - 12x - 12

0 = x^2 - 9x

x7 = 0 - подходит.

x8 = 9 > 0 - подходит.

Решение: x4 = 0; x5 = 9.