Сейчас тоже самое проходим Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.
Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения:
a 2−b 2 = (a−b)(a+b) ;
a 2−2ab+b 2 = (a−b) 2 ;
a 2+2ab+b 2 = (a+b) 2 и др.
Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Для тождественных преобразований можно использовать формулы сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества. Например, вынесение общего множителя за скобку и формулу разность квадратов, как в примере ниже:
x 3−xy 2 = x(x 2−y 2) = x(x−y)(x+y) .
Приведенные выше алгебраические выражения тождественно равны друг другу и обращаются в верное числовое равенство при любых значениях переменных x и y .
Выполним тождественные преобразования и сократим алгебраическую дробь x 3−xx 2−x .
Мы получили тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения) , так как знаменатель левой части не должен быть равен нулю.
x 2−x≠0 ; x(x−1)≠0 ; х≠0 и х≠1 .
Чтобы доказать тождество надо выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства, и получить слева и справа одинаковые записи алгебраических выражений.
Например, докажем тождество:
x 3−xx 2−x = x 2+xx
x(x 2−1)x(x−1) = x(x+1)x — вынесли х за скобки ;
x 2−1 2x−1 = x+1 — сократили на х ;
(x−1)(x+1)x−1 = x+1 — разность квадратов ;
x+1 = x+1 — сократили на x−1 .
Данное равенство является тождеством, при х≠0 и х≠1.
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу.
Прямоугольник ABCD имеет длину 6 см, а ширину — 4 см. Разделим этот прямоугольник на квадраты со стороной 1 см. Получается, что прямоугольник ABCD состоит из 4 рядов по б квадратов в каждом ряду. Таким образом, чтобы найти количество квадратных сантиметров, надо 6 ∙ 4. Выполним это действие: умножим длину прямоугольника на его ширину. Достанем 24 см2.
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину.
Это правило можно записать в виде формулы. Обозначим длину прямоугольника буквой а, ширину — буквой b, а площадь — буквой S, тогда
S = а ∙ b.
Эту формулу называют формулой площади прямоугольника.
Если длину и ширину прямоугольника измерили в сантиметрах, то площадь достаем в квадратных сантиметрах.
Если длину и ширину измерили в дециметрах, то и площадь достаем в квадратных дециметрах.
Если измерения в метрах, то площадь — в квадратных метрах.
Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.
Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения:
a 2−b 2 = (a−b)(a+b) ;
a 2−2ab+b 2 = (a−b) 2 ;
a 2+2ab+b 2 = (a+b) 2 и др.
Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Для тождественных преобразований можно использовать формулы
сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества. Например,
вынесение общего множителя за скобку и формулу разность квадратов, как в примере ниже:
x 3−xy 2 = x(x 2−y 2) = x(x−y)(x+y) .
Приведенные выше алгебраические выражения тождественно равны
друг другу и обращаются в верное числовое равенство при любых
значениях переменных x и y .
Выполним тождественные преобразования и сократим
алгебраическую дробь x 3−xx 2−x .
x 3−xx 2−x = x(x 2−1)x(x−1) = x(x−1)(x+1)x(x−1) = (x+1) ;
x 3−xx 2−x = (x+1) .
Мы получили тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения) ,
так как знаменатель левой части не должен быть равен нулю.
x 2−x≠0 ; x(x−1)≠0 ; х≠0 и х≠1 .
Чтобы доказать тождество надо выполнить тождественные
преобразования одной или обеих частей равенства, и получить слева
и справа одинаковые записи алгебраических выражений.
Например, докажем тождество:
x 3−xx 2−x = x 2+xx
x(x 2−1)x(x−1) = x(x+1)x — вынесли х за скобки ;
x 2−1 2x−1 = x+1 — сократили на х ;
(x−1)(x+1)x−1 = x+1 — разность квадратов ;
x+1 = x+1 — сократили на x−1 .
Данное равенство является тождеством, при х≠0 и х≠1.
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством,
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой
получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу.
Например:
x 2−xx = x 2+xx — х≠0 ;
x−1 = x+1 — сократим на х для удобства ;
5−1 ≠ 5+1 — подставим, например 5 .
Данное равенство не является тождеством.
Прямоугольник ABCD имеет длину 6 см, а ширину — 4 см. Разделим этот прямоугольник на квадраты со стороной 1 см. Получается, что прямоугольник ABCD состоит из 4 рядов по б квадратов в каждом ряду. Таким образом, чтобы найти количество квадратных сантиметров, надо 6 ∙ 4. Выполним это действие: умножим длину прямоугольника на его ширину. Достанем 24 см2.
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину.
Это правило можно записать в виде формулы. Обозначим длину прямоугольника буквой а, ширину — буквой b, а площадь — буквой S, тогда
S = а ∙ b.
Эту формулу называют формулой площади прямоугольника.
Если длину и ширину прямоугольника измерили в сантиметрах, то площадь достаем в квадратных сантиметрах.
Если длину и ширину измерили в дециметрах, то и площадь достаем в квадратных дециметрах.
Если измерения в метрах, то площадь — в квадратных метрах.
1 дм2 — это площадь квадрата со стороной 1 дм.