1) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. А(4;-6), В(6;4√6)
2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.
a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы. Они уже найдены: a² = 4, а = +-2 b² = 3*4. b = +-2√3. c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4. Координаты фокусов: F₁(-4;0), F₂(4;0). Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы. Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2 Асимптоты y = +-(b / a). y₁ = (2√3) / 2 = √3 y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.
3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы. Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности. ответ: х = +-√7 у = +-3.
4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).
взаимно простыми числами называются числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы: 1) 4=2·2 12=2·2·3 общие делители кроме единицы - 2 и 4; 2) 4=2·2 15=3·5 общих делителей кроме единицы нет; 3) 6=2·3 22=2·11 общий делитель кроме единицы - 2; 4) 15=3·5 100=2·2·5·5 общий делитель кроме единицы - 5; 5) 9=3·3 18=2·3·3 общие делители кроме единицы - 3 и 9; 6) 16=4·4 25=5·5 общих делителей кроме единицы нет ответ: взаимно простыми числами являются пары чисел: 2) 4 и 15; 6) 16 и 25
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
Подставим координаты известных точек:
Приводим к общему знаменателю и получаем систему:
{16b² - 36a² = a²b²,
{36b² - 96a² = a²b².
Отсюда 16b² - 36a² = 36b² - 96a²
60a² = 20b²
b² = 3a².
Заменим b² в уравнении гиперболы:
a² = 4,
b² = 3*4 = 12.
ответ:
2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.
a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы.
Они уже найдены: a² = 4, а = +-2
b² = 3*4. b = +-2√3.
c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4.
Координаты фокусов:
F₁(-4;0), F₂(4;0).
Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.
Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2
Асимптоты y = +-(b / a).
y₁ = (2√3) / 2 = √3
y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.
3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности.
ответ: х = +-√7
у = +-3.
4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).
1) 4=2·2
12=2·2·3
общие делители кроме единицы - 2 и 4;
2) 4=2·2
15=3·5
общих делителей кроме единицы нет;
3) 6=2·3
22=2·11
общий делитель кроме единицы - 2;
4) 15=3·5
100=2·2·5·5
общий делитель кроме единицы - 5;
5) 9=3·3
18=2·3·3
общие делители кроме единицы - 3 и 9;
6) 16=4·4
25=5·5
общих делителей кроме единицы нет
ответ: взаимно простыми числами являются пары чисел: 2) 4 и 15; 6) 16 и 25