Y=6sin^4x+6cos^4x
Найти множество значений функции

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Прибавим и отнимет 2sin²xcos²x

Y=6sin^4x+6cos^4x=6((sin²x+cos²x)²-2(sinxcosx)²)=6(1-1/2 sin²(2x))

Так как sin²2xє[0; 1], то Yє[3; 6]

ответ:       Е( у ) = [ 3 ; 6 ] .

Пошаговое объяснение:

    y = 6sin⁴x+6cos⁴x .  Перетворимо функцію :

y = 6sin⁴x+6cos⁴x =  6(sin⁴x + cos⁴x ) =  6(sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x -

 -  2sin²xcos²x ) =  6(sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x ) - 12sin²xcos²x =

 = 6 ( sin²x + cos²x )² - 3 ( 4sin²xcos²x ) = 6 * 1² - 3*sin²2x = 6 - 3sin²2x =

 = 6 - 3( 1 - cos4x )/2 = 6 - (3 - 3cos4x )/2 = ( 12 -3 + 3cos4x )/2 =

 = ( 9 + 3cos4x )/2 ;     отже , дана функція     y = ( 9 + 3cos4x )/2 .

  Оцінимо її значення :      - 1 ≤ сos4x ≤ 1 ;│X 3

                                             - 3 ≤ 3cos4x ≤ 3 ; │+ 9

                                          9 - 3 ≤ 9 + 3cos4x ≤ 9 + 3 ;

                                           6 ≤ 9 + 3cos4x ≤ 12 ; │: 2

                                        6 : 2 ≤ ( 9 + 3cos4x )/2 ≤ 12 : 2 ;

                                                         3 ≤ y ≤ 6 .

 Таким чином , множина значень даної в умові функції  Е( у ) = [ 3 ; 6 ] .