Y=x^4-2x^2 дослідження функції на монотоність за похідної

ДАНО

Y = x⁴ - 2*x²

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. 

Вертикальной асимптоты нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=x²*(x-√2)*(x+√2). 

Корни:х₁ = 0, х₂ = -√2, х₃ = √2 

Интервалы знакопостоянства:

Положительная - X∈(-∞;-√2)∪(√3;+), отрицательная - X∈(-√2;√2).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = +∞  limY(+∞) = +∞ 

Горизонтальной асимптоты нет.

5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 4*x³ -4x = x*(x-1)*(х+1) = 0. 

Корни:  x₁= 0, x₂ = - 1, x₃ = 1 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(0)= 0, минимум – Ymin(-1)= Y(min(1) = -1. 

8. Интервалы монотонности. 

Возрастает - Х∈[-1;0]∪[1;+∞), убывает = Х∈(-∞;-1]∪[0;1]. 

8. Вторая производная - Y"(x) =12*x² -4=0.  x= +/-√(1/3)

Корни производной - точки перегиба - х₁ =-√3/3, х₂ = √3/3 ≈ 0.58. 

9. Выпуклая “горка» Х∈[-√3/3; √3/3], 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-√3/3]∪[√3/3;+∞). 

10. Наклонной асимптоты - .

lim(+∞)Y(x)/x = x³ - 2*x = +∞ - нет