Y -y=2x-1линейное уравнение первого порядка - вопрос №217556650 от elizabethniall 18.01.2023 22:43

Question

Математика: Y -y=2x-1линейное уравнение первого порядка

elizabethniall · Answer

Дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой части
Найти нужно Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем общее решение однородного уравнения.
y''-y=0

Используем метод Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем характеристическое уравнение
$k^2-1=0\\ k=\pm1$
Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{-x}+C_2e^x$

Положим f(x)=2x-1

, многочлен степени х равен 1. Следовательно, частное решение будем находить в виде

Уч.н. =Ax+B

Найдем производную второго порядка
y''=0

Подставим в исходное уравнение, получаем:
-Ax-B=2x-1

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
$\displaystyle \left \{ {{-A=2} \atop {-B=-1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=-2} \atop {B=1}} \right.$
Уч.н. = -2x+1

Тогда решение исходного уравнения:

$\boxed{Y_{O.H.}=C_1e^{-x}+C_2e^x-2x+1}$

Y''-y=2x-1линейное уравнение первого порядка