Відповідь:Дане диференціальне рівняння другого порядку має вигляд:
y" + y + 5y = 0
Щоб знайти розв'язок цього рівняння, спробуємо знайти характеристичне рівняння його відповідного однорідного рівняння.
Характеристичне рівняння має вигляд:
r^2 + r + 5 = 0
Ми можемо вирішити це квадратне рівняння, використовуючи дискримінант:
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19
Оскільки дискримінант від'ємний, це означає, що характеристичне рівняння має комплексні корені.
Розв'язок комплексних коренів можна виразити в такому вигляді:
r = (-b ± √D) / (2a)
= (-1 ± √(-19)) / (2)
Таким чином, комплексні корені:
r1 = -1/2 + (i√19)/2
r2 = -1/2 - (i√19)/2
Оскільки характеристичне рівняння має комплексні корені, розв'язок однорідного рівняння буде мати вигляд:
y(t) = c1 * e^(αt) * cos(βt) + c2 * e^(αt) * sin(βt)
де α = -1/2, β = √19/2, c1 і c2 - це довільні константи.
Отже, розв'язок диференціального рівняння y" + y + 5y = 0 має вигляд:
y(t) = c1 * e^(-t/2) * cos((√19/2)t) + c2 * e^(-t/2) * sin((√19/2)t)
Це загальний розв'язок диференціального рівняння. Значення констант c1 і c2 можна визначити з умови початкових умов або додаткових обмежень, якщо такі надаються у задачі.
Відповідь:Дане диференціальне рівняння другого порядку має вигляд:
y" + y + 5y = 0
Щоб знайти розв'язок цього рівняння, спробуємо знайти характеристичне рівняння його відповідного однорідного рівняння.
Характеристичне рівняння має вигляд:
r^2 + r + 5 = 0
Ми можемо вирішити це квадратне рівняння, використовуючи дискримінант:
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19
Оскільки дискримінант від'ємний, це означає, що характеристичне рівняння має комплексні корені.
Розв'язок комплексних коренів можна виразити в такому вигляді:
r = (-b ± √D) / (2a)
= (-1 ± √(-19)) / (2)
Таким чином, комплексні корені:
r1 = -1/2 + (i√19)/2
r2 = -1/2 - (i√19)/2
Оскільки характеристичне рівняння має комплексні корені, розв'язок однорідного рівняння буде мати вигляд:
y(t) = c1 * e^(αt) * cos(βt) + c2 * e^(αt) * sin(βt)
де α = -1/2, β = √19/2, c1 і c2 - це довільні константи.
Отже, розв'язок диференціального рівняння y" + y + 5y = 0 має вигляд:
y(t) = c1 * e^(-t/2) * cos((√19/2)t) + c2 * e^(-t/2) * sin((√19/2)t)
Це загальний розв'язок диференціального рівняння. Значення констант c1 і c2 можна визначити з умови початкових умов або додаткових обмежень, якщо такі надаються у задачі.