Математика: за 3 задания,с объяснением

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является .1) — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:Применим метод Эйлера: сделаем замену где — некоторая постоянная. Тогда Получили характеристическое уравнение:Разделим обе части уравнения на :Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:Тогда Воспользуемся формулой Эйлера: Фундаментальная...

за 3 задания,с объяснением

Показать ответ

Ответ:

posadskivladislav

01.05.2022 03:43

... Я был в его группе Pascaly, которые дают представления в Черновцах. Еминеску, суфлер, с некоторыми пешеходных ботинках разбитых в горе им кое-какую одежду. И он заметил, Pascaly директор. -Я Замечание? -Нет. Я спросил, если он не имеет ничего лучше. Я ответил, что поэт имеет. -Ну, Купить ваши ... - Чтобы купить мне ... Но я пятаков. -Poftim Пятьдесят леев ... Позволь мне жить сегодня с обувью и одеждой! Вы понимаете? -Я Поймите, ответил Эминеску, которые берут деньги и покинуть город. Когда он вернулся вечером, я беру короткий Pascaly: Вы купили одежду и ботинки, сэр? Да! -Где? -Look Их. И дал полное собрание сочинений Гете и Гейне. Посмотрите, сапоги и одежда ... Дополнен 4 года назад

Это была красота! Классический рисунок, обрамленный какой-нибудь большой волосатая, черная. Высокий лоб и безмятежный, некоторые крупные глаза ...- окна души; ... Нежный улыбка и глубокую меланхолию. Он имел вид молодого святого, происходил из древней иконой, ребенок предопределил боли, которые видят надпись на лице будущей мучений. -Я Рекомендуют Михая Эминеску! Так что я знал, я ...

0,0(0 оценок)

Ответ:

даззвдклкоеллсдвжуэ

11.01.2020 13:00

$y'' - 2y' + 5y = e^{2x}$

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является $y = y^{*} +\widetilde{y}$ .

1) $y^{*}$ — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

y'' - 2y' + 5y = 0

Применим метод Эйлера: сделаем замену $y = e^{kx},$ где — некоторая постоянная. Тогда $y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}$

Получили характеристическое уравнение:

$k^{2}e^{kx} - 2ke^{kx} + 5e^{kx} = 0$

Разделим обе части уравнения на $e^{kx}$ :

$k^{2} - 2k + 5 = 0$

$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$

Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:

$k_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

Тогда $y^{*}_{1} = e^{(1 + 2i)x}, \ y^{*}_{2} = e^{(1 - 2i)x}$

Воспользуемся формулой Эйлера: $e^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$

Фундаментальная система решений: $y^{*}_{1} = e^{x}\cos 2x, \ y_{2}^{*} = e^{x}\sin 2x$ — функции линейно независимые, поскольку $\dfrac{y_{1}^{*}}{y_{2}^{*}} = \dfrac{e^{x}\cos 2x}{e^{x}\sin 2x} = \text{ctg} \, 2x \neq \text{const}$

Общее решение: $y^{*} = C_{1}y_{1}^{*} + C_{2}y_{2}^{*} = C_{1}e^{x}\cos 2x + C_{2}e^{x}\sin 2x$

2) $\widetilde{y}$ — частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции f(x) .

Здесь $f(x) = e^{2x}$ , причем $\alpha = 2 \neq k_{1,2}$ , поэтому частное решение имеет вид $\widetilde{y} = Ae^{2x}$ , где — неизвестный коэффициент, который нужно найти.