Не может. Доказательство от противного. Если запись натурального числа состоит из 12 единиц, а остальные цифры только нули, то это число очевидно делится на 3 нацело, т.к. по признаку делимости на 3 - сумма цифр данного числа делится на 3, значит и само число делится на 3. Пусть данное число А, и как мы установили A= 3*k, где k - натуральное, если предположить, что A = 3k = n^2, (где n - натуральное), то 3k = n*n, и отсюда следует, что n делится нацело на 3, то есть n = 3m, где m- натуральное, но тогда имеем 3k = (3m)*(3m) = 9*(m^2), 3k = 9*(m^2), k = 3*(m^2) и A = 3k = 3*( 3*(m^2)) = 9*(m^2), то есть получаем, что A делится нацело на 9. С другой стороны, поскольку по признаку делимости на 9 данное в условии число не делится на 9 (сумма цифр данного в условии числа не делится на 9, поэтому А не делится на 9). Это и есть противоречие, то есть мы пришли к противоречию, предположив, что существует другое натуральное число n, квадрат которого равен данному в условии. Поэтому такого натурального числа n не существует.
На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени .
Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на .
Доказываем по индукции.
База индукции. Для k = 1 подходит .
Индукционный переход. Пусть длина числа равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на .
Получившееся число равно , оно будет делиться на , если делится на 5.
при делении на 5 может давать остатки 1, 2, 3 и 4; n может давать любые остатки от 0 до 4. Ниже в таблице я явно выписываю, какие можно взять a для каждой комбинации остатков. Например, если n даёт остаток 3 при делении на 5; даёт остаток 4 при делении на 2, то можно взять a = 3: тогда даёт такой же остаток при делении на 5, что и .
Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.
Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:
Если запись натурального числа состоит из 12 единиц, а остальные цифры только нули, то это число очевидно делится на 3 нацело, т.к. по признаку делимости на 3 - сумма цифр данного числа делится на 3, значит и само число делится на 3.
Пусть данное число А, и как мы установили
A= 3*k, где k - натуральное,
если предположить, что
A = 3k = n^2, (где n - натуральное), то
3k = n*n, и отсюда следует, что n делится нацело на 3, то есть
n = 3m, где m- натуральное, но тогда имеем
3k = (3m)*(3m) = 9*(m^2),
3k = 9*(m^2),
k = 3*(m^2) и
A = 3k = 3*( 3*(m^2)) = 9*(m^2),
то есть получаем, что
A делится нацело на 9.
С другой стороны, поскольку по признаку делимости на 9 данное в условии число не делится на 9 (сумма цифр данного в условии числа не делится на 9, поэтому А не делится на 9).
Это и есть противоречие, то есть мы пришли к противоречию, предположив, что существует другое натуральное число n, квадрат которого равен данному в условии.
Поэтому такого натурального числа n не существует.
Существует
Пошаговое объяснение:
На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени
.
Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на
.
Доказываем по индукции.
База индукции. Для k = 1 подходит
.
Индукционный переход. Пусть длина числа
равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на 
.
Получившееся число равно
, оно будет делиться на 
, если делится на 5.
Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.
Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:
5 25 125 3125 53125 453125 4453125 14453125 314453125 2314453125 22314453125 122314453125 4122314453125 44122314453125 444122314453125 4444122314453125 54444122314453125 254444122314453125 1254444122314453125 21254444122314453125Например, число 21254444122314453125 делится на
и не содержит нулей :)