Задача 3. Пешеход вышел из пункта А в пункт Б, и одновременно с ним из Бв А выехал мотоциклист. Встретив пешехода, мотоциклист остановился, развернулся,
отвёз его в Б? а потом доехал до А. Во сколько раз мотоциклист проиграл во времени,
если пешеход, напротив, выиграл в 4 раза?
Задача 4. Какое наименьшее число простых делителей может быть у шестизначного
числа вида аbаbаb?
Задача 5. Перед вами таблица 3х5, заполненная цифрами от 1 до 9:
29 581
8 3 13 9
31263
Разрешается ходить по клеткам этой таблицы, соблюдая два правила: 1) нельзя
входить в одну клетку более одного раза, 2) переходить из клетки можно только в
соседнюю с ней клетку (имеющую с ней общую границу). Проходя по какому-то
маршруту, будем выписывать подряд цифры, в которые мы зашли. Какое наибольшее
число может получиться таким образом?
Задача 6. На трёх прямых отмечено несколько точек, на каждой прямой — пять
отмеченных точек. Сколько может существовать треугольников с вершинами в
отмеченных точках? (Укажите все возможные варианты.)
Чтобы решить данную задачу, нам нужно определить, сколько времени потратил пешеход и мотоциклист на свои поездки. Затем мы сможем найти разницу во времени между ними.
Пусть время в пути пешехода от А до Б равно t1, а время в пути мотоциклиста от Б до А равно t2. Также пусть скорость пешехода будет обозначена как v1, а скорость мотоциклиста - v2.
Так как пешеход выиграл в 4 раза по времени, можно записать следующее уравнение:
t1 = t2 / 4 (1)
Теперь мы должны найти значение t2. Для этого воспользуемся формулой расстояния: расстояние равно скорость умноженная на время.
Расстояние от А до Б равно расстоянию от Б до А (так как это одно и то же расстояние):
v1 * t1 = v2 * t2 (2)
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (t1 и t2). Мы можем решить систему уравнений, заменив t1 из первого уравнения во второе:
v1 * (t2 / 4) = v2 * t2
v1 * t2 = v2 * 4 * t2
После сокращений, у нас остается:
v1 = v2 * 4
Из этого следует, что мотоциклист проигрывает во времени в 4 раза.
Ответ: мотоциклист проигрывает во времени в 4 раза.
Задача 4:
Число вида аbаbаb имеет шестизначную структуру, где цифры а и b повторяются по всем разрядам числа. Это означает, что число должно делиться на а и на b.
Наименьшее простое число - это 2. Если число делится на 2, то вся сумма его цифр должна быть четной. Таким образом, для нашего числа аbаbаb мы можем использовать только четные числа - 2, 4, 6 или 8.
Если мы выбираем 2 или 4, то сумма цифр числа будет меньше 9, что исключает варианты аbаbаb.
Теперь рассмотрим варианты с 6 и 8.
Если выбрать цифру 6 в качестве а, исключая вторую 6, получаем число 686868. Оно делится на 2, 3 и 7, а значит, имеет хотя бы три простых делителя.
Если выбрать цифру 8 в качестве а, исключая вторую 8, получаем число 878787. Оно делится на 3 и 13 и, следовательно, имеет как минимум два простых делителя.
Таким образом, наименьшее число простых делителей у шестизначного числа вида аbаbаb может быть равно двум.
Ответ: 2.
Задача 5:
Для нахождения наибольшего числа, которое можно получить при проходе по клеткам таблицы, важно учесть два правила: можно посетить каждую клетку только один раз, и можно двигаться только в соседнюю клетку.
В данной таблице размером 3х5 нам нужно посетить все 15 клеток. Мы можем организовать несколько маршрутов, но нам нужно найти самый длинный маршрут с самым большим числом.
Учитывая структуру таблицы, самый длинный маршрут может быть следующим:
9 -> 3 -> 13 -> 8 -> 2 -> 5 -> 1 -> 6 -> 3 -> 1
Таким образом, наибольшее число, которое можно получить, составляет 91382513631.
Ответ: 91382513631.
Задача 6:
У нас есть три прямые, каждая из которых содержит пять отмеченных точек. Чтобы найти количество возможных треугольников, нам нужно выбрать по одной точке с каждой прямой, так чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Таким образом, мы должны выбрать по одной точке с каждой прямой, что равносильно выбору одной точки с первой прямой, одной точки со второй прямой и одной точки с третьей прямой.
Так как на каждой из прямых пять отмеченных точек, мы можем выбрать точку с первой прямой пятью способами, точку со второй прямой пятью способами и точку с третьей прямой пятью способами.
Таким образом, всего у нас есть 5 * 5 * 5 = 125 вариантов выбора треугольника с вершинами в отмеченных точках.
Ответ: 125.