Задача 9. По дороге из А в Б (дорога одна) вышли 7 храбрецов и 6 трусов, а из Б в А в то же время вышли 8
храбрецов и 4 труса. Все они идут с разными скоростями.
При каждой встрече двух человек происходит следующее:
если это два храбреца, то они просто идут дальше каждый
своим путём; если это два труса, то каждый разворачивается и идёт в противоположную сторону; если это трус и
храбрец, то они тоже разворачиваются и идут в противоположную сторону, но при этом трус превращается в храбреца, а х

Пошаговое объяснение:

Испытания Бернулли: пусть есть n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из них равна p, вероятность неудачи q = 1 - p. Тогда вероятность того, что будет ровно k успехов равна C(n, k) p^k q^(n - k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)

В обоих случаях будем искать вероятность того, что описанное в условии не произойдет - так проще.

а) Противоположное событие: произвошло меньше 4 неправильных соединений (т.е. 0, 1, 2 или 3).

P(не было неудачных) = (1 - 0,02)^150 = 0.98^150 =  0.0483

P(одно неудачное) = 150 * (1 - 0,02)^149 * 0.02 = 0.1478

P(два неудачных) = 150 * 149 / 2 * (1 - 0,02)^148 * 0.02^2 = 0.2248

P(3) = 150 * 149 * 148 / 6 * (1 - 0.02)^147 * 0.02^3 = 0.2263

P(<4) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 + 0.2263 = 0.647

P(>=4) = 1 - 0.647 = 0.353

б) всё точно также, только не надо учитывать P(4).

P(<=2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 = 0.421

P(>2) = 1 - 0.421 = 0.579

Можно сравнить точные результаты с приближенными. Тут можно вопрольззоваться теоремой Пуассона, P(k) = (np)^(-k) / k! * exp(-np).

Легко проверить, что в этом приближении P(<=2) = 0.423... (ошибка в третьем знаке после запятой), P(<=3) = 0.64723... (ошибка в пятом знаке)

Пусть x – это общее количество программистов, y – дизайнеров. В первый день на работе было x – 4 программиста и y – 1 дизайнеров. Поскольку первых оказалось на 2 человека меньше, то чтобы уравнять количество программистов и дизайнеров, надо из количества дизайнеров вычесть два. В итоге получаем такое уравнение: x – 4 = y – 1 – 2.

Во второй день программистов x – 1, а дизайнеров y – 5. Поскольку программистов оказалось в 2 раза больше, то чтобы уравнять количества специалистов, надо либо разделить на 2 программистов, либо умножить на 2 дизайнеров. Второе сделать проще, в итоге получаем уравнение: x – 1 = 2 (y – 5).

Таким образом приходим к системе двух линейных уравнений с двумя переменными:
| x – 4 = y – 1 – 2
| x – 1 = 2 (y – 5)

Преобразуем уравнения:
| x – y – 1 = 0
| x – 2y + 9 = 0

Решим систему методом алгебраического сложения. В данном случае уместно использовать вычитание):
(x – y – 1) – (x – 2y + 9) = 0
x – y – 1 – x + 2y – 9 = 0
y = 10

Находим x:
x – 10 – 1 = 0
x = 11

Всего в отделе числятся x + y сотрудников, то есть 10 + 11 = 21 человек.