Задача представлена на картинке - вопрос №18481287 от hakimjon232 05.02.2022 17:50

Question

Математика: Задача представлена на картинке

hakimjon232 · Answer

Пусть уравнение искомой кривой y=y(x). Рассмотрим произвольную точку (x_0;y_0) на плоскости, производную в этой точке обозначим через y'_0. Уравнение касательной к кривой будет иметь вид

y=y_0+y'_0(x-x_0).

Чтобы узнать, где эта касательная пересекается с осью OY, подставим x=0:

$y=y_0-y'_0\cdot x_0\Rightarrow y-y_o=-y'_0\cdot x_0.$

По условию $y-y_0=-1\Rightarrow -1=-y'_0\cdot x_0;\ y'_0\cdot x_0=1.$

Поскольку (x_0;y_0) - произвольная точка, можно последнее условие переписать в виде

$y'\cdot x=1\Rightarrow y'=\frac{1}{x}; y=\ln |x|+C.$

Поскольку по условию кривая проходит через точку M_0(1;2), можем найти C:

$2=\ln 1+C;\ C=2\Rightarrow y=\ln |x|+2.$

И наконец, поскольку абсцисса точки M_0, которая лежит на кривой, положительна, и во всех других точках кривой абсцисса будет положительной, поэтому окончательный ответ такой:

$y=\ln x +2.$