Задача про финансовые ренты Задача 1.
В фонд ежегодно в течение 7 лет в конце периода поступают средства по 10000 руб., на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых (сложных), причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращенная сумма к концу срока составит 100000 руб. Определить коэффициент наращения и годовую выплату.
Задача 2.
В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., а годовая выплата – 10 тыс. руб. Определить срок ренты.
Доказательство в объяснении.
ответ равен 260 ед.
Пошаговое объяснение:
1. Одна из сторон трапеции равна 7 см. Это сторонв АВ, так как по теореме о неравенстве треугольника со сторонами 10ед, 20ед и 7ед не существует.
Треугольники АВС и АСD подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны".
ВС/AC = AC/AD = 2, а ∠АСВ = ∠СAD как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD. Подобие доказано.
2. Периметр треугольника АВС равен 22 ед, полупериметр равен
p1=11 ед.
Периметр треугольника АСD равен 44 ед, полупериметр равен
p2=22 ед.
Тогда площадь треугольника АВС равна по Герону
Sabc = √(11·4·6·1) = 2√66 ед², а
радиус вписанной окружности в треугольник АВС равен
r1 = Sabc/p1 = 2√66/11 ед.
Для треугольника ACD радиус r2 = 4√66/11 ед, так как треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 2.
Расстояние от вершины до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
В треугольнике АВС AK = p1 – BC = 11-5 = 6ед.
В треугольнике АСD CН = p2 – AD = 22-20 = 2ед. =>
КН = АС - АК - СН = 10 - 6 - 2 = 2 ед.
Прямоугольные треугольники КО1О и НО2О подобны по острому углу (∠КО1О и ∠НО2О - вертикальные) с коэффициентом подобия
k2 = r1/r2 = 2.
Тогда НО = 2·КО, а 3·КО = 2ед. +> КО = 2/3 ед.
В прямоугольном треугольнике КО1О гипотенуза
О1О=√(r1²+KO²)=√(4·66/121+4/9)=√(260/99)=2√(65/99) ед.
В подобном ему треугольнике НО2О гипотенуза
О2О = 4√(65/99) ед.
Тогда отрезок О1О2 = 6√(65/99) ед.
Это расстояние между центрами вписанных окружностей. Тогда ответ по условию будет:
(36·65/99)·11 = 260 ед.
ответ: a ∈ (-∞; 0)∪{81}
Пошаговое объяснение: ОДЗ: x ≥ 0
С учетом ОДЗ уравнение всегда имеет как минимум один корень - решение уравнения √x - 9 = 0 ⇔ √х = 9 ⇒ x = 81.
Однако при некоторых значениях а уравнение может иметь и другой корень - решение уравнения х - а = 0 ⇒ х = а. Это возможно в том случае, если этот корень удовлетворяет ОДЗ, т.е. есть х ≥ 0 ⇒ a ≥ 0. Но может случиться так, что корни совпадут (и в первой скобке, и во второй корнем будет х = 81), и в итоге у нас все так же будет одно решение.
Поэтому уравнение может иметь единственное решение только в двух случаях:
1) уравнения х - а = 0 и √x - 9 = 0 имеют одинаковое решение - х = 81. Этому случаю соответствует значение а = 81.
2) если уравнение х - а = 0 имеет решения, которые не удовлетворяют ОДЗ, т.е. такие, при которых x выходит < 0 (в этом случае уравнение не будет иметь смысла из за того, что под корнем будет отрицательное число). Этому случаю соответсвуют все значения а < 0.
Итого: a ∈ (-∞; 0)∪{81}.