Задание 2. Известно, что выполняется равенство (a + b + c)(ab + ac + bc) = abc
для чисел a, b, c. Доказать, что сумма каких-то двух чисел равна 0.
Задание 3.
Сравнить: √3tg2(arccos7/10) и 4tg (arcsin7/10) + √3 .
Задание 4.
Доказать неравенство √2 + + 2 – √2 + 2 ≤ √2 + 2 − √3.
Задание 5.
Решить уравнение √4 − х + √х − 2 = х4 – 18 х2 + 83.
Задание 6.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём AD - диаметр
этой окружности. Сумма неравных углов четырёхугольника при вершинах A и D равна 150 градусов. Точки P и Q - центры окружностей, вписанных в ΔABD и в ΔACD, соответственно. Точка F середина дуги AD, не содержащей точек B и C. Доказать, что треугольник PQF равносторонний.
Задание 7.
Некоторые рыцари короля Артура во время пандемии перессорились друг с другом, но не со всеми, причём часть из них села на самоизоляцию. Действующих рыцарей оставалось всего семь. Известно, что если взять любых шестерых из этих рыцарей, то их можно посадить за круглый стол так, что соседом каждого рыцаря (слева и справа) будет рыцарь, с которым он не поссорился. Доказать, что и всех семерых можно рассадить за круглый стол так, что у каждого рыцаря соседями будут рыцари, с которыми он не ссорился.
Задание 8.
Площадь выпуклого четырёхугольника ABCD равна 576,
AB + CD = 50, BC × AD = 527. Найти стороны четырёхугольника.
б) тут нужно придумать последовательность шагов, которая приведёт в нужную клетку. Например, подходит такая: вправо-вверх-вправо-вверх-вправо-вправо-вверх-вправо-вправо.
в) здесь было необходимо найти исходную клетку. Идём с конца, применяя обратные операции: например, последний шаг вверх — мы идём из f8 вниз, и т.д.Таким образом найдём клетку c4. Для проверки можно пройти весь путь в прямом порядке и вновь попасть в f8.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получается тело вращения, состоящее из двух конусов: конуса с образующей CB (катет Δ ABC) и конуса с образующей CА (катет Δ ABC). Оба конуса имеют равное основание – окружность радиуса CO. Радиус окружности основания конусов – высота CO, опущенная из вершины C ΔABC на гипотенузу AB. Обозначим CO = R.
Объем тела вращения (V) будет равен сумме объемов большого (V₁) и малого (V₂) конусов. V = V₁ + V₂ ;
Объем конуса V = 1/3SoH; So – площадь основания, H – высота конуса.
По т.Пифагора найдем гипотенузу Δ ABC:
AB² = CB² + CA² = 7+2 = 9; AB = 3 см.
Найдем высоту CO Δ ABC. ΔBCO подобен ΔABC по двум углам: <COB = <ACB = 90⁰, <CBA общий. Из подобия треугольников следует:
СO/CB = CA/AB; CO=CA*CB/AB = √2*√7/3 = √14/3 см. Радиус окружности R = √14/3 см.
По т.Пифагора найдем катет BO Δ OBC:
BO² = CB² - CO² = 7-14/9 = (63-14)/9 = 49/9; BO = 7/3 см.
AO = AB – BO = 3 – 7/3 = 2/3.
Sо = πR² = 14π/9 см².
V = V₁ + V₂ = 1/3 * 14π/9*7/3 + 1/3 * 14π/9*2/3 = 1/3*14π/9*(7/3+2/3) = 1/3*14π/9*3 = 14π/9;
Или:
V₁ = 1/3 * 14π/9*7/3 = 98π/81;
V₂ = 1/3 * 14π/9*2/3 = 28π/81;
Объем тела вращения V = V₁ + V₂ = 98π/81+28π/81= 126π/81 = 14π/9 см³.
Объем тела вращения V = 14π/9 см³.