Задано координати вершин трикутника. А(7,1), B(-5,-4), C(-9,-1). нужна
​

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(7; 1), B(-5; -4), C(-9; -1).

​ Найти :

1) Длину стороны АВ.

Вектор АВ = (-5-7; -4 - 1) = (-12; -5 ). Модуль равен √((-12)² + (-5)²) = 13.

2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти ,

Уравнение АВ: (х -7)/(-12) = (у - 1)/(-5) это канонический вид.

Угловой коэффициент равен: к(АВ) = Δу/Δх = -5/(-12) = 5/12.

Уравнение АВ в общем виде:

5х - 35 = 12у - 12,

5х - 12у - 23 = 0, направляющий вектор равен (5; -12)

Вектор ВС = (-9-(-5); -1 -(-4)) = (-4; 3). Модуль равен √((-4)² + 3²) = 5.

Уравнение ВС: (х + 5)/(-4) = (у + 4)/3.

или в общем виде 3х +4у + 31 = 0.

Угловой коэффициент равен Δу/Δх = 3/-4 = -3/4.

3) внутрішній кут В в радіанах.

Вектор ВА = -АВ = (12; 5 ), модуль равен √(12² + 5²) = √169 = 13.

Вектор ВС = (-4; 3 ), модуль равен 5.

cos B = (12*(-4)+ 5*3) / (13*5) = -33 /65 ≈ -0,507692308  

B = 2,103300425 радиан

B = 120,5102374 градусов

4) рівняня медіани АЕ ,

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Е = (В(-5; -4)+С(-9; -1)) / 2 = (-7; -2,5).

Вектор АЕ = (-7-7; -2,5-1) = (-14; -3,5).

Уравнение АЕ:  (х - 7)/(-14) = (у - 1)/(-3,5)  

или в целых числах  (х - 7)/28 = (у - 1)/7 .

В общем виде 7х - 28у - 21 = 0.

5) рівняня висоти СД та її довжину ,

Высота СД перпендикулярна стороне АВ:  5х - 12у - 23 = 0.

Уравнение СД имеет вид 12х + 5у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).

Для определения величины С подставим координаты точки С(-9; -1).

СД: 12*(-9) + 5*(-1) + С = 0, отсюда С = 5 + 108 = 113.

СД: 12х + 5у + 113 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| √(A² + B²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |5·(-9) + (-12)·(-1) + (-23)| /√(5² + (-12)²)  =   |-45 + 12 - 23| /√(25 + 144)  =

=   56 /√169  =   56/ 13  ≈ 4.30769.