1) Находим длины рёбер.
x y z Квадрат Длина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 4 1 2 21 4,582575695
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} 1 -2 0 5 2,236067977
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} 5 -1 2 30 5,477225575
Вектор АD={xD-xA , yD-yA, zD-zA} 3 2 1 14 3,741657387
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} -1 1 -1 3 1,732050808
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC} -2 3 -1 14 3,741657387
Прериметр АВС равен 12,29586925.
2) cos(AB_AD) = (4*3 + 1*2 + 2*1)/(√21*√14) = 16/(7√6) =
= 16/17,1464282 = 0,93313895
Угол равен 0,367749 радиан или 21,07047 градуса.
3) Площадь раавна половине модуля векторного произведения векторов АВ иАС.
i j k| i j
4 1 2| 4 1
5 -1 2| 5 -1 = 2i + 10j - 4k - 8j + 2i - 5k = 4i + 2j - 9k = (4; 2; -9).
S = (1/2)*√(16 + 4 + 81) = (1/2)*√101 ≈ 5,02494 кв.ед.
4) Для определения уравнения плоскости по трём точкам есть развёрнутая формула решения матрицы.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек А, В и С получаем ответ:
4 x + 2 y + -9 z + 8 = 0.
Вот её полная версия.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0.
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-2) y - 0 z - 0
2 - (-2) 1 - 0 2 - 0
3 - (-2) (-1) - 0 2 - 0 = 0
4 1 2
5 -1 2 = 0
x - (-2)1·2-2·(-1) - y - 0 4·2-2·5 + z - 0 4·(-1)-1·5 = 0
4 x - (-2) + 2y - 0 + (-9) z - 0 = 0
4x + 2y - 9z + 8 = 0.
1) Находим длины рёбер.
x y z Квадрат Длина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 4 1 2 21 4,582575695
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} 1 -2 0 5 2,236067977
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} 5 -1 2 30 5,477225575
Вектор АD={xD-xA , yD-yA, zD-zA} 3 2 1 14 3,741657387
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} -1 1 -1 3 1,732050808
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC} -2 3 -1 14 3,741657387
Прериметр АВС равен 12,29586925.
2) cos(AB_AD) = (4*3 + 1*2 + 2*1)/(√21*√14) = 16/(7√6) =
= 16/17,1464282 = 0,93313895
Угол равен 0,367749 радиан или 21,07047 градуса.
3) Площадь раавна половине модуля векторного произведения векторов АВ иАС.
i j k| i j
4 1 2| 4 1
5 -1 2| 5 -1 = 2i + 10j - 4k - 8j + 2i - 5k = 4i + 2j - 9k = (4; 2; -9).
S = (1/2)*√(16 + 4 + 81) = (1/2)*√101 ≈ 5,02494 кв.ед.
4) Для определения уравнения плоскости по трём точкам есть развёрнутая формула решения матрицы.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек А, В и С получаем ответ:
4 x + 2 y + -9 z + 8 = 0.
Вот её полная версия.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0.
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-2) y - 0 z - 0
2 - (-2) 1 - 0 2 - 0
3 - (-2) (-1) - 0 2 - 0 = 0
x - (-2) y - 0 z - 0
4 1 2
5 -1 2 = 0
x - (-2)1·2-2·(-1) - y - 0 4·2-2·5 + z - 0 4·(-1)-1·5 = 0
4 x - (-2) + 2y - 0 + (-9) z - 0 = 0
4x + 2y - 9z + 8 = 0.